Aufgabenstellungen und Lösungen

Ergebnis:

$10$

Rapunzels Haar muss um $200\mathrm{cm}-20\mathrm{cm}=180\mathrm{cm}$ wachsen. Das dauert $180\mathrm{cm}:1,5 \text{cm/Monat}=120 \text{Monate}=10 \text{Jahre}$. Rapunzel muss also $10$ Jahre warten.

Ergebnis:

$12$

$3$ Radfahrerinnen erreichten vor Mara das Ziel, $6$ Radfahrerinnen kamen zwischen Mara und Mirijam an, und $1$ Radfahrerin beendete hinter Mirijam das Rennen. Zusammen ergibt dies $6+3+1=10$ Radfahrerinnen, ohne Mara und Mirijam selbst. Da die Gesamtzahl der Radfahrerinnen gefragt ist, müssen wir Mara und Mirijam ebenfalls hinzufügen, was $10+2=12$ Radfahrerinnen ergibt.

Ergebnis:

$126$

Pro Kilometer verbraucht die Läuferin $3000J$ Energie. Auf einer $42\mathrm{km}$ langen Strecke, verbraucht die Läuferin

an Energie. Jeder gegessene Energieriegel gleicht $1000J$ an Energie aus. Um das gesamte Energiedefizit auszugleichen, muss die Läuferin $\frac{126000J}{1000J}=126$ Energieriegel zu sich nehmen.

Ergebnis:

$7$

Die Zahl $35$ kann auf vier Arten als Produkt zweier positiver ganzer Zahlen ausgedrückt werden (wobei unterschiedliche Reihenfolgen als unterschiedliche Arten gezählt werden):

Der erste Faktor steht für die Anzahl der Stücke, die jeder Freund erhält. Da es mindestens $2$ Stücke sein sollen, schließen wir den Fall $1\cdot 35$ aus. Damit bleiben drei Möglichkeiten, unter denen die maximale Anzahl an Freunden $7$ ist.

Ergebnis:

$15$

Die Informationen zur Geschwindigkeitsbegrenzung sind für die Lösung der Aufgabe nicht wichtig. Wir benötigen lediglich, dass Tessa die Strecke $s=10\mathrm{km}$ zurücklegen möchte und dass ihre Durchschnittsgeschwindigkeit $v=40\mathrm{km}∕h$ betragen soll. Wir wissen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit gleich der Gesamtstrecke geteilt durch die Gesamtzeit ist. Wenn wir die Durchschnittsgeschwindigkeit mit $v$ und die Strecke mit $s$ bezeichnen, können wir die Zeit $t$ wie folgt ausdrücken:

In Minuten umgerechnet erhalten wir als Ergebnis $15$ Minuten.

Ergebnis:

$8$

Die einzigen Würfel, bei denen drei Seiten rot gefärbt sind, sind diejenigen, die aus einer der Ecken des ursprünglichen Quaders herausgesägt wurden. Die anderen Würfel haben nur zwei Seiten, die gefärbt sind (wenn sie aus der Kante zwischen zwei Seiten herausgeschnitten wurden), eine Seite, die gefärbt ist (wenn sie aus der Seite des Quaders herausgeschnitten wurden), oder keine Seite, die gefärbt ist (wenn sie sich überhaupt nicht an der Oberfläche des Quaders befanden). Daher müssen wir nur die Ecken des Quaders zählen, was $8$ ergibt. Es gab also $8$ Würfel mit drei rot gefärbten Seitenflächen.

Ergebnis:

$6$

Die Leistung der Mikrowelle ist konstant. Das bedeutet, dass die Energie, die das Essen von der Mikrowelle erhält, proportional zur Erhitzungszeit ist. Außerdem ändert sich die Masse und die spezifische Wärmekapazität des Essens während des Erhitzungsprozesses nicht. Daher ist der Temperaturanstieg proportional zur Erhitzungszeit.

Als das Essen ein zweites Mal erhitzt wird, steigt die Temperatur um $40{}^{\circ }C-26{}^{\circ }C=14{}^{\circ }C$. Das Essen wurde dabei, nur $70\%$ der Zeit des ersten Aufwärmens, der Hitze ausgesetzt. Daher muss die Temperatur der Speise, beim ersten Erhitzen um

gestiegen sein. Daraus folgt, dass die Ursprüngliche Temperatur von Patricks Essen $26{}^{\circ }C-20{}^{\circ }C=6{}^{\circ }C$ betrug.

Ergebnis:

$12$

Am Ende des ersten Tages gibt es nur eine Person, die das neue Gesetz kennt. An jedem folgenden Tag verdoppelt sich die Anzahl der Personen, die das neue Gesetz bereits kennen. Wir wissen also:

• Am Ende des $2$. Tages gibt es $2\cdot 1=2$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $3$. Tages gibt es $2\cdot 2=4$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $4$. Tages gibt es $2\cdot 4=8$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $5$. Tages gibt es $2\cdot 8=16$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $6$. Tages gibt es $2\cdot 16=32$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $7$. Tages gibt es $2\cdot 32=64$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $8$. Tages gibt es $2\cdot 64=128$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $9$. Tages gibt es $2\cdot 128=256$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $10$. Tages gibt es $2\cdot 256=512$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $11$. Tages gibt es $2\cdot 512=1024$ Personen, die das neue Gesetz kennen;
• Am Ende des $12$. Tages gibt es $2\cdot 1024=2048$ Personen, die das neue Gesetz kennen.

Da $2048\ge 2025$ ist, endet die Verbreitung des neuen Gesetzes am Ende des $12$. Tages.

Ergebnis:

$5$

Um den Gesamtwirkungsgrad dieser Energieumwandlung zu erhalten, müssen wir einfach die einzelnen Wirkungsgrade der stattfindenden Umwandlungen multiplizieren. Zuerst setzen wir die Wirkungsgrade, die nicht in Bruchform vorliegen, in Bruchform um:

Danach multiplizieren wir alle Wirkungsgrade:

Da unsere Antwort in Prozent angegeben werden soll, muss der Nenner des Bruchs gleich $100$ sein. Dafür multiplizieren wir den ursprünglichen Bruch mit $\frac{5}{5}$ und erhalten das Ergebnis $\frac{1}{20}\cdot \frac{5}{5}=\frac{5}{100}$. Damit beträgt der Wirkungsgrad $5\%$.

Ergebnis:

$512$

Jedes Mal, wenn der König zieht, hat er $8$ mögliche Felder zur Auswahl. Bei einem Weg, der aus genau drei Zügen besteht, sind die Entscheidungen unabhängig voneinander, sodass die Gesamtzahl solcher Wege $8\cdot 8\cdot 8=512$ beträgt.

Ergebnis:

$100$

Kate läuft $s_K=600m$ in $t=2$ Minuten, ihre Durchschnittsgeschwindigkeit ist daher $v_K=\frac{s_K}{t}=\frac{600m}{2\min }=5m∕s$. Um die gesamte Streckenlänge $s=1000m$ zurückzulegen, benötigt sie $t_K=\frac{s}{v_K}=\frac{1000m}{5m∕s}=200s$.

Patrick läuft $s_P=400m$ in $t=2$ Minuten, seine Durchschnittsgeschwindigkeit ist daher $v_P=\frac{s_P}{t}=\frac{400m}{2\min }=\frac{10}{3}m∕s$. Um die gesamte Streckenlänge $s=1000m$ zurückzulegen, benötigt er $t_P=\frac{s}{v_P}=\frac{1000m}{\frac{10}{3}m∕s}=300s$. Wir sehen also, dass Kate ihr Streckenende $t_P-t_K=300s-200s=100s$ früher erreicht als Patrick seines.

Ergebnis:

$7$

Wir möchten, dass die Oberfläche des Körpers so groß wie möglich ist und dabei so wenige Würfel wie möglich verwendet werden. Daher soll jeder Würfel mit möglichst wenigen Seitenflächen mit dem gesamten Körper verbunden sein. Aus diesem Grund kleben wir die Würfel zu einer langen Reihe zusammen, wodurch ein Quader entsteht. Die beiden Würfel an den Enden dieser Reihe haben $5$ sichtbare Seitenflächen, und alle Würfel dazwischen haben $4$ sichtbare Seitenflächen. Da ihr Flächeninhalt jeweils $1{\mathrm{cm}}^2$ beträgt und wir einen Oberflächeninhalt von $30{\mathrm{cm}}^2$ erreichen wollen, erhalten wir die Gleichung

wobei $x$ die Anzahl der Würfel zwischen den beiden Endwürfeln ist. Wir formen um und erhalten

Daher ist $x=5$. Da wir neben diesen $5$ Würfeln noch weitere $2$ Würfel an den Enden des Quaders haben, benötigen wir insgesamt (mindestens) $2+5=7$ Würfel.

Ergebnis:

$45$

Wir suchen nach der kleinsten Quadratzahl (eine Zahl, die als Produkt einer ganzen Zahl mit sich selbst geschrieben werden kann), die als Summe aus $1929$ Einsen und Neunen geschrieben werden kann. Die Antwort ist die Quadratwurzel dieser Zahl. Angenommen, alle Ameisen besetzen nur ein Feld. Insgesamt würden sie $1929$ Quadrate besetzen. Nun können wir einige von ihnen durch eine Ameisenkönigin ersetzen. Auf diese Weise können wir die Anzahl der besetzten Quadrate um $9-1=8$ erhöhen. Somit erhalten wir eine Anzahl besetzter Quadrate in der Form $1929+8k$ für eine nicht-negative ganze Zahl $k$. Wir suchen die kleinste Zahl dieser Form, die eine Quadratzahl ist. Die erste größere Quadratzahl ist $44\cdot 44=1936$. Sie ist gerade und hat daher eindeutig nicht die Form $1929+8k$, die ungerade ist. Die nächste ist $45\cdot 45=2025$, die die gewünschte Form hat ($1929+8k=2025$ für $k=12$). Offensichtlich können wir die Ameisen gemäß den Regeln in das Gitter setzen. Tatsächlich reicht es aus, $(2025-1929):8=12$ Quadrate der Größe $3\times 3$ auszuwählen. Du kannst diese beispielsweise in den ersten drei Reihen des Gitters unterbringen. Daher ist die kleinstmögliche Anzahl von Reihen in Matylda quadratischem Gitter $\sqrt{2025}=45$.

Ergebnis:

$1000$

Das Volumen des Pools beträgt $V=15m\cdot 6m\cdot 2m=180m^3$. Berechnen wir das Wasservolumen, das jede Person pro Stunde mitbringen kann:

• Alice füllt ihren Becher $\frac{3600s}{30s}=120$-mal pro Stunde. Auf diese Weise erhöht sie das Wasservolumen im Pool um $120\cdot 250\mathrm{ml}=30000\mathrm{ml}=30l$.
• Bob füllt sein Gefäß $\frac{60\min }{1\min }=60$-mal pro Stunde. Auf diese Weise erhöht er das Wasservolumen im Pool um $60\cdot 0,5l=30l$.
• Cornelia füllt ihren Eimer $\frac{60\min }{5\min }=12$-mal pro Stunde. Auf diese Weise erhöht sie das Wasservolumen im Pool um $12\cdot 10{\mathrm{dm}}^3=120l$.

Insgesamt erhöhen die Freund*innen das Wasservolumen im Pool um $30l+30l+120l=180l=0,18m^3$ pro Stunde. Ihre Füllgeschwindigkeit beträgt also $v=0,18m^3∕h$. Um den gesamten Pool zu füllen, benötigen sie schließlich $t=\frac{V}{v}=\frac{180m^3}{0,18m^3∕h}=1000h$.

Ergebnis:

$27$

Am Ausgang des Parks möchte Lucy eine ungerade Anzahl von Blumen haben (damit sie keine verliert). Da eine ungerade Zahl + eine gerade Zahl immer eine ungerade Zahl ergibt, kann Lucy, wenn sie zu Beginn eine ungerade Anzahl von Blumen hat, zu einer beliebigen Anzahl von Wiesen mit gerader Nummer gehen, ohne Blumen zu verlieren. Daher suchen wir nach einer Folge von Wiesen mit gerader Nummer, die mit einer Wiese mit ungerader Nummer beginnt und am Ausgang endet. Da wir noch nicht wissen, welche Wiese mit ungerader Nummer diejenige sein wird, auf der die Folge beginnt, gehen wir vorerst einfach vom Ausgang aus durch alle geraden Wiesen und markieren auf jeder Wiese (mit grauen Zahlen), wie viele Blumen Lucy auf dem Weg von dieser Wiese zum Ausgang pflücken wird.

Nun suchen wir nach einer Wiese mit ungerader Blumenzahl, die (i) an eine der markierten Wiesen grenzt und, (ii) wenn wir die graue Zahl auf der markierten Wiese und die Zahl auf der ungeraden Wiese addieren, die maximal mögliche Summe ergibt. Wenn wir alle überprüfen (die Wiesen mit den Zahlen $1$, $3$ und $7$), stellen wir fest, dass die maximale Summe $27$ ist. Dann müssen wir nur noch überprüfen, ob wir wirklich am Eingang beginnen und dann die gewünschte ungerade Wiese so einsammeln können, dass wir vor dem Einsammeln eine gerade Anzahl von Blumen haben (damit wir die Blumen von der ungeraden Wiese nicht verlieren). Ein möglicher Weg dafür ist in der Abbildung dargestellt.

Daher kann Lucy beim Verlassen des Parks maximal $27$ Blumen haben.

Ergebnis:

$8$

Zuerst müssen wir den Flächeninhalt des grauen Teils berechnen. Er besteht aus zwei Dreiecken. Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, müssen wir die Hälfte des Produkts aus der Länge einer Basis (einer der Seiten) und der zugehörigen Höhe nehmen. In unserem Fall ist es sinnvoll, die auf der Strecke $\mathit{PR}$ liegenden Seiten als Basen zu nehmen. Der Grund dafür ist, dass die Höhe zu dieser Basis die Hälfte der Seitenlänge des Quadrats ist, also $12\mathrm{dm}:2=6\mathrm{dm}$.

Die Summe der Flächeninhalte zweier Dreiecke mit gleicher Höhe ist gleich der Summe ihrer Basen, multipliziert mit der gemeinsamen Höhe und dividiert durch $2$. Die Summe der Basen unserer Dreiecke lässt sich leicht berechnen – sie entspricht der Länge der Strecke $\mathit{PR}$, die so lang ist wie eine Seite des Quadrats ($12\mathrm{dm}$). Die gemeinsame Höhe beträgt $6\mathrm{dm}$, sodass die Summe der Flächen der grauen Dreiecke $\frac{12\mathrm{dm}\cdot 6\mathrm{dm}}{2}=36{\mathrm{dm}}^2$ ist.

Martina muss für je $5{\mathrm{dm}}^2$ eine Tube kaufen, also benötigt sie mindestens $\frac{36{\mathrm{dm}}^2}{5{\mathrm{dm}}^2}=7,2$ Tuben. Da Martina nur eine ganze Anzahl von Tuben kaufen kann, runden wir diese Zahl auf die nächstgrößere ganze Zahl, also $8$ auf. Daher muss Martina $8$ Tuben Farbe kaufen.

Ergebnis:

$60$

Wir bezeichnen die Entfernung von der Schule nach Hause mit $d$, die Geschwindigkeit der Mutter mit $v_m$ und die Geschwindigkeit von David mit $v_D$. Zunächst berechnen wir die Zeit $t_1$, die David benötigen würde, um nach Hause zu kommen, wenn er nicht auf seine Mutter zulaufen würde. In diesem Fall würde die Mutter einfach die Entfernung $d$ von zu Hause zur Schule und dann noch einmal $d$ von der Schule nach Hause fahren, also insgesamt $2d$. Das würde sie $t_1=\frac{2d}{v_m}$ an Zeit kosten. Wenn wir $t_1$ berechnen, erhalten wir:

Nun wollen wir die Zeit $t_2$ berechnen, die David benötigen wird, wenn er nach Hause läuft. Diese Zeit erhalten wir als $t_2=t_{2A}+t_{2B}$, wobei $t_{2A}$ die Zeit bis zum Treffen mit seiner Mutter und $t_{2B}$ die Zeit vom Treffen bis zur Ankunft zu Hause ist. Die relative Geschwindigkeit von Mutter und David ist $v_m+v_D$. Wenn wir also wissen wollen, wann sie sich treffen, können wir uns die Situation so vorstellen, als müssten sie die Strecke $d$ mit der Geschwindigkeit $v_m+v_D$ zurücklegen. Daraus können wir die Zeit $t_{2A}$ berechnen zu

Die Zeit $t_{2A}$ ist die Zeit, die Davids Mutter benötigt, um zum Treffpunkt zu gelangen. Da die Mutter die gleiche Geschwindigkeit hat, egal in welche Richtung sie fährt, ist die Zeit $t_{2B}$, die sie benötigt, um vom Treffpunkt nach Hause zurückzukehren, gleich $t_{2A}$. Daher können wir $t_2$ wie folgt berechnen:

Die Differenz zur ersten Variante beträgt $t_1-t_2=6\min -5\min =1\min$, also $60s$.

Ergebnis:

$71,8$

Der Raum, in dem sich Michael befindet, ist vollständig geschlossen, sodass sich das Luftvolumen darin nicht ändern kann. Daher müssen wir die spezifische Wärmekapazität für konstantes Volumen $c_V$ verwenden. Die Luft der Masse $m=6\mathrm{kg}$ im Raum wurde von einer Temperatur von $t_0=20{}^{\circ }C$ auf $t_1=22{}^{\circ }C$ erhöht. Dazu muss sich die Wärme $Q=c_V\cdot m\cdot (t_1-t_0)$ aufgenommen haben. Nur Michael konnte dies bewirken, also hat er die Arbeit $W=Q$ an der Luft verrichtet. Da sich seine Temperatur nicht verändert hat, beträgt die gesamte von Michael verrichtet Arbeit genau $W$. Er hat dies während des Zeitintervalls $\tau =120s$ getan. Daher betrug Michaels durchschnittliche Wärmeabgabe

Ergebnis:

$1978$

Es ist klar, dass die einzige positive Zahl, die in den Stein ganz links in der untersten Reihe geschrieben werden kann, die Zahl $3-2=1$ ist. Bezeichnen wir nun die Zahl in der Mitte der untersten Reihe mit $x$. Die Regel der Summenpyramide erzwingt dann die Werte aller übrigen Steine, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Nun müssen wir einen passenden Wert für $x$ finden, für den alle Einträge der Pyramide verschiedene positive ganze Zahlen sind. Die ganzen Zahlen $1$, $2$ und $3$ sind bereits verwendet, daher $x\ge 4$. Wir werden zeigen, dass nur $x=4$ funktioniert. Nehmen wir $x\ge 5$ and und bringen diese Aussage zum Widerspruch. In einem solchen Fall ist $15-2x\le 5$. Hätten wir $x=5$, wäre die Zahl $15-2x$ ebenfalls gleich $5$ - ein Widerspruch. Hätten wir $x>5$, wäre die Zahl $15-2x$ höchstens $3$ - um positiv zu sein, müsste sie einen der Werte $1$, $2$ oder $3$ annehmen, die bereits verwendet werden - ebenfalls ein Widerspruch. Wir haben also gezeigt, $x=4$. Jetzt ist es einfach, die gesamte Pyramide zu berechnen und zu überprüfen, dass alle Zahlen verschieden sind:

Schließlich berechnen wir die Summe der untersten Reihe als $1+2+4+7+1964=1978$.

Ergebnis:

$10$

Die Formel für den hydrostatischen Druck lautet $p={\rho }_{\mathit{Wasser}}\mathit{gh}$. Sowohl ${\rho }_{\mathit{Wasser}}$ als auch $g$ blieben zwischen den beiden Messungen gleich, daher können wir ihr Produkt als Konstante $k={\rho }_{\mathit{Wasser}}g$ bezeichnen. Wenn wir also Annes Zylinder mit dem Index $A$ und Marias Zylinder mit dem Index $M$ bezeichnen, können wir folgende Gleichungen aufstellen:

Dabei sind $h_A$ und $h_M$ die Höhen der Flüssigkeit in den Zylindern. Da die Konstanten $k$ in beiden Gleichungen gleich sind, können wir diese beiden Gleichungen zu einer einzigen umschreiben:

Nun können wir die Höhen $h_A$ und $h_M$ anhand des Volumens der Flüssigkeit $V$ und der Radien $r_A$ und $r_M$ der Zylinder ausdrücken:

Wenn wir das in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

Daraus setzen wir nun einfach $r_M$ aus und erhalten das Ergebnis:

Daher hat die Grundfläche von Marias Zylinder einen Radius von $10\mathrm{cm}$.

Ergebnis:

$38$

Das Buch besteht aus $25$ Märchen gerader Länge und $25$ Märchen ungerader Länge. Jedes Märchen mit einer geraden Seitenanzahl ändert nicht die Parität der Startseite des nächsten Märchens; das heißt, wenn es auf einer geraden Seite beginnt, beginnt auch das nächste Märchen auf einer geraden Seite. Um die Anzahl der Märchen, die auf ungeraden Seitenzahlen beginnen, zu maximieren, wollen wir, dass jedes Märchen gerader Länge auf einer ungeraden Seite beginnt. Dann werden alle $25$ Märchen gerader Länge auf ungeraden Seitenzahlen beginnen. Anders ist die Situation bei Märchen mit einer ungeraden Seitenanzahl. Jedes von ihnen ändert die Parität der Startseite des nächsten Märchens. Um die Anzahl der Märchen, die auf ungeraden Seitenzahlen beginnen, zu maximieren, können wir das erste Märchen ungerader Länge auf einer ungeraden Seite beginnen lassen, wonach die Startseite jedes folgenden Märchens ungerader Länge zwischen ungerade und gerade abwechselt. Daher werden von den 25 Märchen ungerader Länge 13 auf ungeraden Seitenzahlen und 12 auf geraden Seitenzahlen beginnen. Insgesamt gibt es also $25+13=38$ solcher Märchen.

Ergebnis:

$30$

Zu Beginn ist die Gesamtenergie der Snowboarderin gleich ihrer potenziellen Energie. Diese ist gleich $E_p=\mathit{mgr}$, wobei $m=80\mathrm{kg}$ ihre Masse ist und $r=4,5m$ der Radius der Viertelkreise, dieser entspricht auch der Starthöhe.

Die Snowboarderin verliert auf den Viertelkreisen keine Energie. Nur auf dem horizontalen Teil geht aufgrund der Reibung Energie verloren. Der Reibungskoeffizient beträgt $f=0,05$, und somit ist die Reibungskraft $F_f=\mathit{mgf}$. Diese Kraft wirkt über die gesamte horizontale Strecke mit der Länge $s=3m$.

Die Reibungskraft verrichtet eine Arbeit von $W=\mathit{Fs}=\mathit{mgfs}$ am Snowboard. Alternativ kann man sagen, dass das Snowboard diese Arbeit verrichten muss, um die Reibung zu überwinden. Bei jeder Überquerung des horizontalen Teils verringert sich die Energie also um $W$.

Nach $n$ Überquerungen hat sich die Energie der Snowboarderin um $\mathit{nW}$ verringert. Gesucht ist der kleinste Wert $n$, für den die Differenz $E_p-\mathit{nW}$ kleiner-gleich $0$ wird. Das ist der Punkt, an dem das Snowboard zum Stillstand kommt. Die daraus folgende Ungleichung, die gelöst werden muss, lautet:

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Snowboarderin am Ende der dreißigsten Überquerung des horizontalen Abschnitts zum Stillstand kommt.

Ergebnis:

$2$

Die Gesamtzahl der gezeigten Symbole beträgt $27+25+24=76$. In jedem Spiel werden zwei Symbole gezeigt, also gab es $76:2=38$ Spiele. In $19$ davon gab es ein Unentschieden, in den anderen $38-19=19$ Spielen gewann eines der Symbole. Von diesen Spielen gewann Stein $10$ Mal und verlor $7$ Mal. Die verbleibenden $19-10-7=2$ Spiele entfallen auf die Spiele, bei denen genau Schere und Papier gezeigt wurden und Schere gewann. Somit hat Schere $2$ Mal gewonnen. Anmerkung: Es ist auch tatsächlich möglich, dass dies geschieht. Abgesehen von den bereits bekannten Siegen müsste das Stein-Stein-Unentschieden $5$ Mal, das Papier-Papier-Unentschieden $8$ Mal und das Schere-Schere-Unentschieden $7$ Mal vorkommen.

Ergebnis:

$65$

Betrachten wir zunächst die Kräfte in Nord-Süd-Richtung. Die Kiste wird mit einer Kraft von $75N$ nach Norden und mit einer Kraft von $100N$ nach Süden gezogen. Daraus ergibt sich eine Kraft von $100N-75N=25N$ nach Süden. Betrachten wir nun die Kräfte in Ost-West-Richtung. Die Kiste wird mit einer Kraft von $120N$ nach Osten und mit einer Kraft von $60N$ nach Westen gezogen. Daraus ergibt sich eine Kraft von $120N-60N=60N$ nach Osten. Die resultierende Kraft auf die Kiste bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $25N$ und $60N$. Der Satz des Pythagoras sagt uns nun, dass die Hypotenuse sich wie folgt berechnet:

Die resultierende Kraft beträgt $65N$.

Ergebnis:

$\frac{1}{14}$

Seien die Widerstände mit $R_1=6\mathrm{\Omega }$, $R_2=12\mathrm{\Omega }$, $R_3=30\mathrm{\Omega }$ und $R_4=36\mathrm{\Omega }$. Wir berechnen den Strom, der in beiden Fällen durch den Stromkreis fließt. Betrachten wir zunächst den Fall, in dem der Schalter nicht geschlossen ist. In diesem Fall betrachten wir eine Parallelschaltung von zwei Teilen. Im oberen Teil beträgt der Gesamtwiderstand $R_o=R_2+R_3=42\mathrm{\Omega }$, während der Widerstand im unteren Teil $R_u=R_1+R_4=42\mathrm{\Omega }$ beträgt. Daher beträgt der Gesamtwiderstand $R_1^{\prime }=\frac{R_u\cdot R_u}{R_u+R_u}=\frac{42\mathrm{\Omega }\cdot 42\mathrm{\Omega }}{42\mathrm{\Omega }+42\mathrm{\Omega }}=21\mathrm{\Omega }$. Da die Spannung der Quelle $U=3V$ beträgt, bedeutet dies, dass der Strom, der durch den Stromkreis fließt wie folgt berechnet werden kann,

Ähnlich können wir im Fall eines angeschlossenen Schalters vorgehen. In einem solchen Fall haben wir zwei parallele Verbindungen, die in Reihe geschaltet sind. Der erste Teil hat einen Widerstand von $R_{21}^{\prime }=\frac{36\mathrm{\Omega }\cdot 12\mathrm{\Omega }}{36\mathrm{\Omega }+12\mathrm{\Omega }}=9\mathrm{\Omega }$, während der zweite Teil einen Widerstand von $R_{22}^{\prime }=\frac{30\mathrm{\Omega }\cdot 6\mathrm{\Omega }}{30\mathrm{\Omega }+6\mathrm{\Omega }}=5\mathrm{\Omega }$ hat. Insgesamt beträgt der Widerstand $R_2^{\prime }=R_{21}^{\prime }+R_{22}^{\prime }=9\mathrm{\Omega }+5\mathrm{\Omega }=14\mathrm{\Omega }$. Daher beträgt der Gesamtstrom

Nachdem Lena den Schalter umlegt erhöht sich der Strom um,

Ergebnis:

$18$

Es gibt zwei Arten von Linien in der Abbildung

• Pfade (gestrichelte Linien);
• Linien am Rand des Spielplatzes.

Die Aufgabe fragt uns nach der Summe der Längen der Pfade (Linien vom Typ 1). Andererseits wissen wir, dass die Summe der Längen vom Typ 2 der Umfang des Spielplatzes ist, also $27m$ beträgt. Der Trick besteht darin, die Summe des Gesamtumfangs der grauen Teile und des Gesamtumfangs der weißen Teile zu betrachten, was $30m+33m=63m$ ist. Beachte, dass in dieser Summe jeder Pfad doppelt gezählt wird, während die Linien am Rand nur einmal vorkommen. Wenn wir also den Umfang des Spielplatzes davon subtrahieren, erhalten wir, dass $63m-27m=36m$ das Doppelte der Summe der Längen der Pfade ist. Schließlich müssen wir nur durch $2$ dividieren. Die Summe der Längen der Pfade beträgt also $36m:2=18m$.

Ergebnis:

$2700$

Seien $a$, $b$ und $c$ die Abmessungen des Aquariums. Wir müssen das Volumen $V=\mathit{abc}$ berechnen. Die von Max gemessenen Drücke seien $p_1=4000\mathrm{Pa}$, $p_2=10000\mathrm{Pa}$ und $p_3=20000\mathrm{Pa}$. Das Aquarium ist zu $2∕3$ seines Volumens mit Wasser gefüllt. Wenn Max das Aquarium also auf eine seiner Seiten stellt, erreicht das Wasser $2∕3$ der derzeit vertikalen Abmessung des Aquariums. Für die drei möglichen Aufstellpositionen des Aquariums erhalten wir daher folgende Gleichungen für den hydrostatischen Druck:

Damit können wir die Maße des Aquariums berechnen:

Das Volumen des Aquariums ist:

Nun müssen wir das Volumen noch in Liter umrechnen. Maxs Aquarium hat somit ein Volumen von $2700L$.

Ergebnis:

$7,5$

Der Lichtstrahl reflektiert gemäß dem Reflexionsgesetz. Daher müssen sein Einfallswinkel und sein Reflexionswinkel dieselbe Größe haben. Dies führt auch dazu, dass die in der folgenden Abbildung mit $\alpha$ bezeichneten Winkel dieselbe Größe haben:

Offensichtlich gibt es zwei Dreiecke in der Abbildung. Beide haben einen Winkel der Größe $\alpha$ und einen rechten Winkel. Deswegen sind sie ähnlich. Daraus folgt, dass das horizontale Segment der Länge $20m$ im selben Verhältnis geteilt wird wie das Verhältnis der Turmhöhen, welches $3:5$ ist. Der kleinere Teil hat daher die Länge $\frac{3}{3+5}\cdot 20m=7,5m$. Oder anders ausgedrückt, der Spiegel muss in einer Entfernung von $7,5m$ von der Basis des kleineren Turms platziert werden.

Ergebnis:

$50$

Teile das Problem in zwei Richtungen auf - eine in Richtung des Zuges und eine senkrecht dazu. In der senkrechten Richtung muss die Kugel die Strecke $s_p=48m$ zurücklegen. Da die Kugel einen senkrechten Geschwindigkeitsanteil der Größe $v_p=192m∕s$ hat, dauert der Flug der Kugel

Die Kugel hat jedoch auch einen Geschwindigkeitsanteil in Richtung der Zugstrecke. In der Zeit $t$ legt der Zug, der sich mit der Geschwindigkeit $v_t=56m∕s$ bewegt, eine Strecke

zurück. Wenn Joe das Ziel treffen soll, muss er aus einer Entfernung von $14m$ schießen, bevor seine Position im Zug den Fußpunkt des Lots vom Ziel auf die Eisenbahnstrecke erreicht. Er sollte also schießen, während er sich an einem Eckpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $14m$ und $48m$ befindet. Der Satz des Pythagoras besagt dann, dass die Hypotenuse $\sqrt{{(14m)}^2+{(48m)}^2}=50m$ lang ist. Joe ist bei seinem Schulss also $50m$ vom Ziel entfernt.

Ergebnis:

$17$

Mit einer Formel aus der Formelsammlung (Formel vom kleinen Gauß) können wir leicht berechnen, dass $1+2+3+\dots +101=5151$. Mit jeder Änderung eines Pluszeichens in ein Minuszeichen verringern wir das Ergebnis um das Zweifache der Zahl, vor der das geänderte Zeichen stand. Um die Änderung von $5151$ auf $2025$ so schnell wie möglich zu vollziehen, müssen wir bei den größten Zahlen mit dem Ändern beginnen. Insgesamt müssen wir das Ergebnis um $5151-2025=3126$ verringern. Die Summe der subtrahierten Zahlen muss $3126:2=1563$ sein (dividiert durch $2$, da jede Änderung eines $+$-Zeichens in ein $-$-Zeichen das Ergebnis um das Zweifache der Zahl verringert, deren Vorzeichen wir geändert haben). Jede subtrahierte Zahl ist höchstens $100$, also müssen wir mehr als $1563:100=15,63$, also mindestens $16$ Zahlen, subtrahieren. Wenn wir die obersten $16$ Zahlen in eine Zahl mit entgegengesetztem Vorzeichen ändern würden, bekämen wir die Zahl $5151-2\cdot (86+87+\cdots +101)=5151-2\cdot (187\cdot 8)=5151-2992=2159$. Dies liegt leicht über $2025$, nämlich um $2159-2025=134$ darüber. Um das Ergebnis um $134$ zu verkleinern, müssen wir das Vorzeichen vor der Zahl $134:2=67$ ändern. Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis $2025$, nachdem wir $16+1=17$ Pluszeichen in Minuszeichen geändert haben.

Ergebnis:

$20,01$

Sei $m$ die Masse des Balls. Die ursprüngliche potenzielle Energie des Balls beträgt $E_p=\mathit{mgh}$, wobei $h=2,5m$. Mit jedem Aufprall geht ein Teil der Gesamtenergie verloren. Nur die Hälfte dieser verlorenen Energie wird in die vom Ball absorbierte Wärme umgewandelt. Da die gesamte ursprüngliche potenzielle Energie umgewandelt wird, sobald der Ball zum Stillstand kommt, wird genau die Hälfte seiner ursprünglichen potenziellen Energie in die Wärmeenergie des Balls umgewandelt. Die vom Ball aufgenommene Wärme beträgt also $E_p∕2$. Dadurch erhöht sich die Temperatur des Balls mit der spezifischen Wärmekonstante $c=1250J∕(\mathrm{kg}{}^{\circ }C)$ um $\mathrm{\Delta }t$, gegeben durch:

Somit erhöht sich die Temperatur des Balls von der anfänglichen Temperatur $t=20{}^{\circ }C$ zur Endtemperatur $t^{\prime }=t+\mathrm{\Delta }t=20{}^{\circ }C+0,01{}^{\circ }C=20,01{}^{\circ }C$.

Ergebnis:

$79$

Nimm drei der Stäbchen und überlege: was können wir über die drei spitzen Winkel zwischen ihnen sagen? Wir werden zeigen, dass mindestens eine der folgenden Aussagen notwendigerweise wahr ist:

a)

Einer der spitzen Winkel ist die Summe der beiden anderen.

b)

Alle drei spitzen Winkel summieren sich zu $180^{\circ }$.

Drei Geraden teilen einen Vollwinkel in $3$ Paare von Winkeln gleicher Größe. Höchstens eines dieser Paare kann aus stumpfen (oder rechten) Winkeln bestehen - andernfalls hätte der Vollwinkel mehr als $360^{\circ }$. Wir können also zwei spitze Paare aus den drei Paaren nehmen. Diese beiden Paare spitzer Winkel bestimmen zwei der drei spitzen Winkel, die durch die drei Geraden bestimmt werden. Jetzt ist die Frage, wie der dritte aussieht. Die beiden spitzen Winkel, die wir bereits haben, teilen sich eine gemeinsame Gerade. Nimm zuerst an, dass ihre Summe spitz ist. In einem solchen Fall ist dies der dritte spitze Winkel, womit wir bei a) oben wären. Andernfalls ist ihre Summe stumpf. Der dritte Winkel kann dann als Ergänzung dieser Summe zu $180^{\circ }$ gefunden werden. Dies ergibt b) oben. Jetzt sind wir bereit, das ursprüngliche Problem anzugehen. Wir kennen $5$ der $6$ Winkel, also muss es ein Tripel von Stäbchen geben, für das wir alle Winkel kennen. Sie müssen eine der obigen Bedingungen erfüllen. Keine drei der Winkel erfüllen Teil b), da die maximale Summe der Winkel, die wir erhalten können, $45^{\circ }+56^{\circ }+61^{\circ }=162^{\circ }<180^{\circ }$ ist. Aber wir können zwei Tripel finden, die Teil a) erfüllen. Nämlich $16^{\circ }+40^{\circ }=56^{\circ }$ und $16^{\circ }+45^{\circ }=61^{\circ }$. Daraus können wir schließen, dass es definitiv zwei Geraden mit dem Winkel $16^{\circ }$ gibt. Es gibt zwei Tripel von Winkeln, die durch die beiden Geraden, die den Winkel $16^{\circ }$ bilden, und eine weitere Gerade gebildet werden, also müssen beide Tripel, die wir gefunden haben, verwendet werden. Wir können also damit beginnen, zwei Geraden mit einem Winkel von $16^{\circ }$ zu zeichnen. Jetzt müssen wir Geraden hinzufügen, um einen $40^{\circ }$- und $45^{\circ }$-Winkel mit den Schenkeln dieses Winkels der Größe $16^{\circ }$ zu bilden (und sie dürfen den $16^{\circ }$-Winkel nicht überlappen). Also haben wir zwei Fälle zu betrachten:

Fall 1.

Sie liegen beide auf derselben Seite. In diesem Fall gibt es definitiv einen spitzen Winkel $45^{\circ }-40^{\circ }=5^{\circ }$. Es kann jedoch überprüft werden, dass alle Winkel so sind, wie sie sein sollten.

Fall 2.

Sie liegen auf den anderen Seiten. In diesem Fall gibt es zwei Geraden, die einen Winkel von $45^{\circ }+16^{\circ }+40^{\circ }=101^{\circ }$ aufspannen. Aber dieser Winkel ist stumpf, also nehmen wir tatsächlich seine Ergänzung zu $180^{\circ }$, was $180^{\circ }-101^{\circ }=79^{\circ }$ ist. Wiederum ist leicht zu überprüfen, dass diese Konfiguration die gewünschten Eigenschaften hat.

Alles in allem haben wir gefunden, dass die größere Möglichkeit für den sechsten Winkel $79^{\circ }$ ist, also ist dies der von Michael berechnete Winkel.

Ergebnis:

$25$

Kristine schrieb $8$ Zahlen mit dem arithmetischen Mittel $45$. Die Summe dieser $8$ Zahlen muss also $8\cdot 45=360$ sein. Ähnlich schrieb Kate $8$ Zahlen mit dem arithmetischen Mittel $65$. Die Summe dieser $8$ Zahlen muss also $8\cdot 65=520$ sein. Folglich beträgt die Summe der Zahlen, die von beiden Mädchen geschrieben wurden, $360+520=880$. Die Mädchen schrieben dann $8+8-1=15$ Zahlen (die Zahl, die sie gemeinsam hatten, schrieben sie nicht) mit dem arithmetischen Mittel $57$ auf. Ihre Summe war also $15\cdot 57=855$. Diese Zahl unterscheidet sich von der Zahl $880$, die wir zuvor erhalten haben, um die Zahl, die von beiden Mädchen geschrieben wurde. Das bedeutet, dass die Zahl, die von beiden Mädchen geschrieben wurde, $880-855=25$ war.

Ergebnis:

$2$

Zunächst müssen wir die Größe „längenbezogene Masse“ verstehen. Bezeichnen wir sie mit $\lambda$. Aus ihrer Einheit $\mathrm{kg}∕m$ können wir ableiten, dass eine Kette mit der Masse $m$ und der Länge $\ell$ die längenbezogene Masse $\lambda =\frac{m}{\ell }$ hat. In unserer Aufgabenstellung kennen wir die längenbezogene Masse $\lambda =3\mathrm{kg}∕m$ und müssen die Länge $\ell$ berechnen. Um auf unsere ursprüngliche Frage zurückzukommen: Wir haben eine Kugel mit einem Volumen von $V=40l=0,04m^3$ und einer durchschnittlichen Dichte von $\rho =50\mathrm{kg}∕m^3$. Diese Kugel hat eine Masse von $m_0=\mathit{\rho V}=2\mathrm{kg}$. $20\%$ der Kugel müssen unter Wasser sein, daraus folgt, dass sie eine durchschnittliche Dichte von $20\%$ der Dichte des Wassers haben muss. Sie muss also die Dichte ${\rho }^{\prime }=\frac{20}{100}\cdot 1000\mathrm{kg}∕m^3=200\mathrm{kg}∕m^3$ haben. Das Anbringen einer Kette mit vernachlässigbarem Volumen erhöht das Volumen nicht, das Volumen bleibt also $V$. Daher muss die Gesamtmasse der Boje $m={\rho }^{\prime }V=200\mathrm{kg}∕m^3\cdot 0,04m^3=8\mathrm{kg}$ betragen. Durch das Anbringen der Kette müssen wir also die Masse um $m-m_0=6\mathrm{kg}$ erhöhen. Dazu benötigen wir eine Kette der Länge

Ergebnis:

$56$

Seien $R_1$ und $R_2$ die Widerstände der beiden Widerstandsbauelemente. Die Bedingung für die Reihenschaltung gibt uns eine Gleichung

Gleichermaßen ergibt sich aus der Bedingung für die Parallelschaltung

Wir haben also ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, das wir nun lösen müssen. Wenn wir die zweite Bedingung etwas umschreiben, können wir sie mithilfe der ersten Gleichung vereinfachen:

Das bedeutet, dass die Widerstände der Widerstandsbauelemente Werte haben, deren Summe $64$ und deren Produkt $448$ beträgt. Wenn wir vermuten, dass für die Werte der Widerstände ganze Zahlen gewählt wurden, müssen wir nur ein Paar komplementärer Teiler von $448$ finden, deren Summe $64$ ist. Mindestens einer der Wiederstände muss durch 8 teilbar sein (da $448$ durch $64=8^2$ teilbar ist). Da die Summe beider Werte ebenfalls durch $8$ teilbar ist, muss auch der zweite Wert durch $8$ teilbar sein. Damit bleibt uns nur eine Möglichkeit: Die Werte $8$ und $56$ erfüllen die erforderlichen Bedingungen. Die Aufgabenstellung fragt nach dem Wert des Widerstandsbauelements mit dem größeren Widerstand, diesen haben wir mit $56\mathrm{\Omega }$ ermittelt.

Ergebnis:

$40$

Sei $m$ die kleinste Zahl unter den geschriebenen Zahlen und $M$ die größte. Sie müssen irgendwo auf dem Kreis geschrieben sein. Betrachten wir die Bögen von $m$ nach $M$. Es gibt zwei solcher Bögen, wir konzentrieren uns jetzt auf einen von ihnen. Wir behaupten, dass die Summe der roten Zahlen entlang dieses Bogens mindestens $M-m$ beträgt. Wenn die Zahlen entlang des Bogens in aufsteigender Reihenfolge von $m$ nach $M$ geschrieben sind, z.B. in der Form $m<a_1<a_2<\cdots <a_k<M$, dann ist die Summe der roten Zahlen

Andernfalls gibt es einen Index, bei dem der Wert fällt. In einem solchen Fall müssen wir den Wert nicht nur in Schritten von $m$ auf $M$ erhöhen, sondern zusätzlich den Wertabfall kompensieren. Daher erhöht sich die Summe der roten Zahlen um mindestens das Zweifache des Wertabfalls. Dies erhöht die Gesamtsumme der roten Zahlen, das ist also definitiv nicht der optimale Fall. Bisher haben wir festgestellt, dass die minimale Summe der roten Zahlen entlang jedes Bogens von $m$ nach $M$ $M-m$ beträgt. Es gibt zwei solcher Bögen, also beträgt die minimale Summe der roten Zahlen $2(M-m)$. Das Problem läuft nun darauf hinaus, die kleinstmögliche Differenz $M-m$ zu finden. Wir würden die kleinstmögliche Differenz erhalten, wenn die geschriebenen Zahlen $20$ aufeinanderfolgende Zahlen bilden würden (in diesem Fall hätten wir $M-m=19$). Dies ist jedoch nicht der Fall. Es ist ersichtlich, dass die Summe von $20$ aufeinanderfolgenden Zahlen immer das 10-fache der Summe des größten und kleinsten Elements ist. Insbesondere ist sie ein Vielfaches von $10$. Die Zahl $2025$ ist jedoch kein Vielfaches von $10$. Andererseits können wir schlussfolgern, dass die Differenz $M-m=20$ erreichbar ist. Ein Weg ist, die erforderlichen $20$ Zahlen zu finden. Der Durchschnittswert der $20$ Zahlen, die wir summieren, sollte ungefähr $2025:20=101,25$ sein. Deshalb sollten wir $20$ aufeinanderfolgende ganze Zahlen betrachten (einige von ihnen müssen geändert werden), sodass die Zahl $101,25$ zwischen dem $10.$ und $11.$ Glied liegt. Diese beiden Glieder sind also $101$ und $102$. Wenn wir die Zahlen $92$, $93$, $\text{…}$, $101$, $102$, $\text{…}$, $111$ nehmen würden, erhielten wir die Summe $10\cdot (101+102)=2030$. Wir müssen aber die Summe $2025$ erhalten, also verringern wir die kleinsten $5$ Zahlen ($92$, $93$, $94$, $95$, $96$) um eins. Auf diese Weise erhalten wir ein $20$-Tupel mit der Summe $2025$, für das $M-m=20$ gilt. Daher beträgt die minimale Summe der roten Zahlen $2(M-m)=2\cdot 20=40$.

Ergebnis:

$1,05$

Sei $m$ die Masse des Hüpfballs. Zu Beginn befindet sich der Ball in einer Höhe von $h_0=1,6m$, er besitzt also eine potenzielle Energie von $E_{p_0}=\mathit{mg}{h}_0$. Außerdem bewegt er sich mit einer Geschwindigkeit von $v_0=16m∕s$, sodass er eine kinetische Energie von $E_{k_0}=\frac{1}{2}m{v}_0^2$ besitzt. Seine Gesamtenergie zu Beginn beträgt

Der erste Aufprall erfolgt in einer Höhe von $h_1=0,8m$, der Hüpfball hat also eine potentielle Energie von $E_{p_1}=\mathit{mg}{h}_1=10N∕\mathrm{kg}\cdot 0,8m\cdot m=8J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Daher ist seine kinetische Energie vor dem Aufprall gegeben durch $E_{k_1}^{\prime }=E_0-E_{p_1}=144J∕\mathrm{kg}\cdot m-8J∕\mathrm{kg}\cdot m=136J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Sie verringert sich zu Dreiviertel, sodass sie nach dem Aufprall $E_{k_1}=\frac{3}{4}{E}_{k_1}^{\prime }=\frac{3}{4}\left(136J∕\mathrm{kg}\cdot m\right)=102J∕\mathrm{kg}\cdot m$ beträgt. Die Gesamtenergie nach dem ersten Aufprall ergibt sich als

Wir verfahren analog mit dem zweiten Aufprall. Jetzt ist es einfacher, da es keine potenzielle Energie $E_{p_2}$ gibt. Die Gesamtenergie ist vollständig kinetisch, sodass nun die Gesamtenergie auf drei Viertel sinkt. Daraus ergibt sich:

Jetzt müssen wir den Moment finden, in dem der Hüpfball seine maximale Höhe erreicht. Dies geschieht, wenn der vertikale Teil der Geschwindigkeit null ist. Es gibt jedoch einen horizontalen Teil der Geschwindigkeit, daher sollten wir auch die Informationen darüber im Auge behalten. Aber das lässt sich jetzt leicht berechnen. Zu Beginn betrug der horizontale Teil der Geschwindigkeit $v_0$. Nach jedem Aufprall verringert sich die Größe des Geschwindigkeitsvektors (und wird gewissermaßen reflektiert). Die Verringerung gestaltet sich so, dass die kinetische Energie auf drei Viertel sinkt. Die kinetische Energie ist jedoch proportional zur zweiten Potenz der Geschwindigkeit, sodass die Geschwindigkeit auf $\sqrt{3∕4}$ der ursprünglichen Größe abnehmen muss. Dies passiert zweimal, nach zwei Sprüngen beträgt der horizontale Teil der Geschwindigkeit $v_2={(\sqrt{3∕4})}^2{v}_0=\frac{3}{4}{v}_0=12m∕s$.

Am höchsten Punkt hat der Hüpfball noch immer die Geschwindigkeit $v_2$ und somit die kinetische Energie $E_{k_3}=\frac{1}{2}m{v}_2^2=\frac{1}{2}{(12m∕s)}^2\cdot m=72J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Die potenzielle Energie beträgt daher $E_{p_3}=E_2-E_{k_3}=82,5J∕\mathrm{kg}\cdot m-72J∕\mathrm{kg}\cdot m=10,5J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Dies bedeutet schließlich, dass die maximale Höhe $h_3$, bis zu der der Hüpfball springt,

beträgt.

Ergebnis:

$39$

Aus der Definition des größten gemeinsamen Teilers wissen wir, dass $\text{gcd}(a,b)$ ein Teiler von sowohl $a$ als auch $b$ ist. Ähnlich sind sowohl $a$ als auch $b$ Teiler von $\text{lcm}(a,b)$. Daraus folgt, dass $\text{lcm}(a,b)$ durch $\text{gcd}(a,b)$ teilbar ist. Wir können also positive ganze Zahlen $d$, $k$ finden, sodass

Andererseits können wir für jede Wahl von $k$ und $d$ passende $a$ und $b$ finden. Dafür genügt es, $a=d$ und $b=\mathit{kd}$ zu wählen. Da wir die Anzahl der passenden Werte für $d$ finden müssen, können wir $a$ und $b$ vergessen und nur mit $d$ und $\mathit{kd}$ arbeiten. Die Bedingung lässt sich umschreiben in die Form $d+\mathit{kd}=d(k+1)=20250$. Das ist nur das Schreiben der Zahl $20250$ als Produkt zweier Faktoren, von denen einer (nämlich $k+1$) einen Wert von mindestens $2$ hat. $d$ kann also jeder Teiler von $20250$ sein, außer $20250$ selbst (was $k+1$ gleich $1$ machen würde). Die ursprüngliche Frage läuft also auf das Problem hinaus, die Anzahl der positiven Teiler der Zahl $20250$ zu finden. Die Primfaktorzerlegung von $20250$ ist $20250=2\cdot 3^4\cdot 5^3$. Ihre Teiler haben eine Primfaktorzerlegung mit denselben Primzahlen, aber möglicherweise mit kleineren Exponenten (bis hin zu $0$). Wir haben also $2$ Möglichkeiten für die Primzahl $2$ ($0$ oder $1$), $5$ Möglichkeiten für die Primzahl $3$ ($0$, $1$, $2$, $3$, $4$) und $4$ Möglichkeiten für die Primzahl $5$ ($0$, $1$, $2$, $3$). Insgesamt hat die Zahl $20250$ $2\cdot 5\cdot 4=40$ Teiler. Wir müssen den Teiler $20250$ ausschließen, was uns $40-1=39$ mögliche Werte für den größten gemeinsamen Teiler von Thomas’ Zahlen lässt.