Problems and solutions

Résultat:

$50$

Tout d’abord, déterminons le nombre total de combinaisons possibles à 3 chiffres. Il s’agit de toutes les combinaisons allant de 000 à 999, ce qui fait un total de 1000 combinaisons. Essayer une combinaison prend $3$ secondes à Pierre, donc essayer les 1000 combinaisons lui prendra $3\cdot 1000=3000$ secondes, soit $\frac{3000}{60}=50$ minutes.

Résultat:

$900$

Nous commençons par convertir toutes les unités en unités de base. Nous savons que $12,5\mathrm{cm}$ correspond à $0,125m$ et que $15\mathrm{mm}$ correspond à $0,015m$. Nous pouvons maintenant calculer le volume d’une planche en multipliant ses trois dimensions. Cela nous donne un volume de $0,8m\cdot 0,125m\cdot 0,015m=0,0015m^3$. Pour déterminer le poids de la planche, nous devons multiplier son volume par la densité du bois, ce qui nous donne une masse de $0,0015m^3\cdot 600\mathrm{kg}∕m^3=0,9\mathrm{kg}$. Notre réponse doit être donnée en grammes, soit $0,9\mathrm{kg}=900g$.

Résultat:

$2$

Remarquons que les cartes $3$ et $4$ n’ont qu’une seule autre carte avec une valeur qui diffère de plus de $2$. Pour la carte $3$, c’est la carte $6$ et pour la carte $4$, c’est la carte $1$. En conséquence, les cartes $3$ et $4$ ne peuvent avoir qu’une seule autre carte à côté d’elles, ce qui est possible uniquement si elles sont placées au début ou à la fin de la séquence entière. Ainsi, les ordres possibles doivent être de la forme suivante :

De plus, nous savons quels sont les seuls nombres pouvant se trouver à côté des cartes $3$ et $4$, nous pouvons donc ajuster les ordres ainsi :

Il ne reste plus que les cartes $2$ et $5$. Nous voyons que dans les deux ordres, il n’y a qu’une seule manière de les positionner, nous obtenons donc les séquences $3$, $6$, $2$, $5$, $1$, $4$ et $4$, $1$, $5$, $2$, $6$, $3$ comme les seules $2$ dispositions possibles satisfaisant la condition.

Résultat:

$10$

Comme elles courent à la même vitesse, il faudra à Diane le même temps pour atteindre le 2ème bouleau qu’il faudra à Jeanne pour courir jusqu’au 9ème bouleau. Cela s’applique également à tous les bouleaux suivants : elles seront au même moment au 3ème et au 8ème bouleau, au 4ème et au 7ème bouleau, au 5ème et au 6ème bouleau... etc. Cependant, une fois que la situation où Diane court vers un bouleau avec un numéro plus élevé que celui de Jeanne se produit, elles se rencontreront pour la première fois. Ainsi, pendant que Diane se rend au 6ème bouleau et que Jeanne se rend au 5ème bouleau, elles se rencontreront pour la première fois. De plus, elles se rencontreront à nouveau lors de leur retour de ces bouleaux. À partir de ce moment, Diane courra toujours vers un bouleau avec un numéro plus élevé que celui de Jeanne, donc elles se rencontreront de cette manière lors de chaque bouleau suivant, ainsi deux fois pour chaque bouleau suivant qu’elles atteignent. En tout, il y a cinq de ces bouleaux (pour Diane du 6ème au 10ème bouleau, pour Jeanne du 5ème au 1er), donc elles se rencontreront $5\cdot 2=10$ fois.

Résultat:

$87$

Nous savons que la différence entre chaque deux multiples consécutifs de $n$ est $n$. Ainsi, la différence entre deux multiples consécutifs de $181$ est $181$. Il est indiqué que le multiple précédent de $181$ était en retard de $7$ kilomètres. Ainsi, le prochain multiple de $181$ sera dans $181-7=174$ kilomètres. Nous savons que Sébastien veut y être dans exactement 2 heures. Sa vitesse moyenne pendant ces deux heures doit donc être $v=\frac{174\mathrm{km}}{2h}=87$ kilomètres par heure.

Résultat:

$35$

Nous commençons par examiner la première déclaration. Supposons qu’elle soit fausse. Cela signifierait que le nombre de Matthieu est soit $1$, soit un nombre premier. La somme de trois entiers positifs n’est jamais $1$, donc cela doit être un nombre premier. Cependant, il doit également être la somme de trois des nombres $2$, $4$, $8$, $16$, $32$. Tous ces nombres sont pairs, donc la somme de trois d’entre eux est également paire. La somme n’est manifestement pas $2$, donc elle est un nombre pair, ce qui ne peut pas être un nombre premier. Nous avons donc une contradiction, ce qui signifie que la première déclaration est vraie.

La première déclaration est la seule dont le numéro est impair. De ce fait, la somme des déclarations vraies sera également impair, donc la deuxième déclaration doit être vraie. Il reste à trouver la troisième déclaration vraie. Regardons la déclaration avec le numéro $4$. Si elle était la troisième déclaration vraie, le nombre préféré de Matthieu serait $1+2+4=7$. Mais dans ce cas, la déclaration avec le numéro $8$ serait également vraie, donc nous aurions quatre déclarations vraies. C’est impossible, donc la déclaration avec le numéro $4$ doit être fausse. Par conséquent, le nombre préféré de Matthieu doit être d’au moins $30$. La seule façon de rendre cela vrai est de supposer que la déclaration avec le numéro $32$ est vraie. Cela fait que le nombre préféré de Matthieu est $1+2+32=35$.

Il est facile de vérifier que pour le nombre $35$, les déclarations vraies sont précisément celles avec les numéros $1$, $2$, et $32$. Ainsi, $35$ est effectivement le nombre préféré de Matthieu.

Résultat:

$80$

Nous savons qu’il doit exister un faisceau lumineux qui part des chaussures de Michaël vers le miroir de manière à ce qu’après réflexion, il atteigne les yeux de Michaël à une hauteur de $160\mathrm{cm}$. Nous devons réaliser que les yeux et les pieds sont à la même distance horizontale du miroir. De plus, il faut se rappeler que lorsque le faisceau atteint le miroir, son angle d’incidence sera égal à l’angle de réflexion. Nous pouvons donc dessiner cette figure :

Puisque les angles $\alpha$ et $\beta$ sont les mêmes, les distances $a$ et $b$ le seront également, et, ce qui est encore plus important, les hauteurs que le faisceau va atteindre $h_a$ et $h_b$ seront également identiques. Par conséquent, l’endroit où le faisceau va se réfléchir sur le miroir sera exactement au milieu entre les chaussures de Michaël et ses yeux. Puisque ses yeux sont à une hauteur de $160\mathrm{cm}$, la réflexion se produira à une hauteur de $\frac{160\mathrm{cm}}{2}=80\mathrm{cm}$.

Ainsi, la hauteur maximale du bord inférieur du miroir est de $80\mathrm{cm}$ au-dessus du sol. Si elle était plus haute, le faisceau ne pourrait pas se réfléchir à cette hauteur et Michaël ne pourrait pas voir ses chaussures dans le miroir.

Résultat:

$5$

Commençons par examiner le nombre dans le coin supérieur gauche. Chaque nombre dans ce tableau peut être atteint à partir de ce point en se déplaçant vers le bas ou vers la droite. Par conséquent, tous les nombres du tableau doivent être supérieurs à ce nombre. Cela force le nombre dans le coin supérieur gauche à être $1$. De même, il doit y avoir le nombre $6$ dans le coin inférieur droit.

Ensuite, examinons où le nombre $2$ peut être placé. Il doit être dans l’une des cases adjacentes à celle contenant le nombre $1$ (sinon, il y aurait une case avec un nombre entre $1$ et $2$, ce qui est impossible). Nous avons donc seulement deux possibilités pour placer le nombre $2$ :

Cas 1.

Le nombre $2$ est à droite du nombre $1$. Dans ce cas, nous avons trois possibilités pour le nombre à droite du nombre $2$ (cela peut être $3$, $4$ ou $5$). Pour chaque choix de cette case, nous pouvons placer les cases restantes de manière unique.

Cas 2.

Le nombre $2$ est en dessous du nombre $1$. Dans ce cas, nous avons encore trois possibilités pour la case à droite de la case avec le nombre $2$. Les cases restantes peuvent être remplies de manière unique, mais nous ne trouvons pas une solution valide dans chaque cas (s’il y a le nombre $3$ à droite du nombre $2$, nous n’obtenons pas une solution valide - la deuxième colonne aura un nombre plus grand dans la rangée supérieure que dans la rangée inférieure).

Il reste à additionner les possibilités des deux cas, donc nous avons $3+2=5$ possibilités pour placer les cartes dans le tableau de manière valide.

Résultat:

$12$

Chaque heure, Béthany se déplace de $120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$ de plus qu’Albert. Cela continuera à se produire chaque heure, jusqu’à ce que Béthany ait parcouru exactement $360^{\circ }$ de plus qu’Albert - à ce moment-là, Béthany aura effectué un tour complet de plus qu’Albert et sera donc à nouveau l’un au-dessus de l’autre. Comme Béthany gagne $30^{\circ }$ chaque heure, elle gagnera exactement $360^{\circ }$ après $\frac{360}{30}=12$ heures.

Résultat:

$3$

Puisque le panneau d’affichage est directement tourné vers le soleil, la largeur de son ombre restera la même que la largeur originale, soit $5m$. Cependant, sa hauteur changera. Nous savons que la hauteur de l’arbre juste à côté a changé de $3m$ à $0,75m$. Ainsi, le rapport entre la hauteur de l’arbre et la longueur de son ombre est $\frac{3}{0,75}=\frac{4}{1}$. Ce rapport sera le même pour le panneau d’affichage, donc la longueur de son ombre est $\frac{2,4m}{4}=0,6m$. La superficie totale de l’ombre est sa longueur multipliée par sa largeur, donc $0,6m\cdot 5m=3m^2$.

Résultat:

$160$

Appelons la température en degrés Celsius $N\circ C$. Nous savons que la température équivalente en Fahrenheit peut être trouvée comme $\left(\left(\frac{9}{5}\cdot N\right)+32\right)\circ F$. Cependant, nous savons que cette température doit être le double de la température en degrés Celsius, donc $2N\circ F$. Par conséquent, nous pouvons écrire une équation $((\frac{9}{5}\cdot N)+32)=2N$. Nous réarrangeons l’équation comme suit :

De là

La température dans le cuiseur était de $160\circ C$.

Résultat:

$64$

Après un jour, Michel aura lu $1$ page, après deux jours $1+2$ pages, après trois jours $1+2+3$ pages et ainsi de suite. Donc, après $n$ jours, il aura lu $1+2+\dots +n$ pages. En utilisant une formule du cahier de formules, nous pouvons écrire cette somme comme $\frac{n(n+1)}{2}$. La question est de savoir quel est le plus petit nombre $n$ tel que $\frac{n(n+1)}{2}$ soit au moins $2024$. Ainsi, nous devons résoudre une inéquation :

Nous pouvons estimer que pour $n=60$, le produit $n(n+1)$ est à peu près $3600$, donc le $n$ que nous recherchons sera un peu plus grand. Et vraiment, nous pouvons constater que $63\cdot 64=4032\le 4048$ et $64\cdot 65=4160\ge 4048$. Par conséquent, lire l’ensemble du livre prendra $64$ jours à Michel.

Résultat:

$242$

Commençons par examiner les palindromes à $2$ chiffres. Comme ils doivent être les mêmes que l’on les lise de gauche à droite ou de droite à gauche, ces nombres doivent se composer de deux chiffres identiques. Les palindromes à $2$ chiffres seront donc les nombres $11$, $22$, $33$, ... jusqu’à $99$. Nous pouvons remarquer une caractéristique commune à tous ces nombres : ils sont tous divisibles par $11$. Par conséquent, lorsque nous additionnons $3$ de ces nombres, leur somme doit également être divisible par $11$.

La plus grande somme possible de trois palindromes à $2$ chiffres est $99+99+99=297$. Nous devons donc descendre à partir de $297$ et trouver le premier palindrome divisible par $11$. Les premiers palindromes que nous devons vérifier seront $292$, $282$, $272$, ... simplement des nombres sous la forme $2X2$, où $X$ est un entier. Nous pouvons utiliser une règle de divisibilité par $11$, qui stipule que la somme des chiffres des places paires moins la somme des chiffres des places impaires doit être soit $0$, soit un multiple de $11$. En descendant à partir de $292$, le premier tel palindrome est $242$, où $4-(2+2)=0$. Tout ce qu’il reste à faire est de vérifier si nous pouvons réellement trouver $3$ palindromes à $2$ chiffres à additionner pour obtenir $242$ — et en effet, nous pouvons trouver que ce sont $77+77+88=242$.

Résultat:

$860$

La densité moyenne d’un objet peut être trouvée simplement comme sa masse totale divisée par son volume total. Nous savons que le volume total est de $100\mathrm{ml}=100{\mathrm{cm}}^3$, donc nous devons juste trouver la masse totale. Cela peut être trouvé comme la somme de la masse de la garniture et de la masse de la pâte. Pour les masses de ces parties, nous utilisons simplement la formule $m=\rho \cdot V$, où $\rho$ est la densité et $V$ est le volume. Cependant, nous devons faire attention aux unités. Utilisons les valeurs de $15\mathrm{ml}=15{\mathrm{cm}}^3$ pour le volume de la garniture ($V_f$) et $100\mathrm{ml}-15\mathrm{ml}=85\mathrm{ml}=85{\mathrm{cm}}^3$ pour le volume de la pâte ($V_d$). Par conséquent, nous devons convertir les deux densités données dans les unités correspondantes : $1200\mathrm{kg}∕m^3=1,2g∕{\mathrm{cm}}^3$ pour la densité de la garniture (${\rho }_f$) et $800\mathrm{kg}∕m^3=0,8g∕{\mathrm{cm}}^3$ pour la densité de la pâte (${\rho }_d$). Maintenant, nous pouvons trouver la masse totale du croissant comme suit :

Maintenant, nous pouvons simplement trouver la densité moyenne comme la masse totale divisée par le volume total :

Puisque nous devons donner notre réponse en $\mathrm{kg}∕m^3$, notre réponse est $860\mathrm{kg}∕m^3$.

Résultat:

$48$

Nous savons que le périmètre du grand rectangle est de $16m$, donc la somme des longueurs de toutes les lignes pleines est de $16m$. En regardant les lignes pointillées, nous pouvons voir qu’elles peuvent être réorganisées pour créer le même rectangle que celui des lignes pleines initiales. Par conséquent, la somme de leurs longueurs est la même que celle de toutes les lignes pleines, donc également $16m$. Maintenant, la question est de savoir combien de fois nous utilisons quelles lignes lorsque nous additionnons tous ces $9$ périmètres. Chaque ligne pleine sera utilisée exactement une fois, car chaque segment de chaque ligne pleine appartiendra exactement à un des $9$ périmètres. Cependant, les lignes pointillées se trouvent toujours entre deux parties, donc chaque segment de chaque ligne pointillée appartiendra exactement à deux des $9$ périmètres. Ainsi, nous savons que chaque ligne pointillée sera utilisée deux fois et chaque ligne pleine une fois. Au total, nous utiliserons donc l’intégralité du périmètre du rectangle initial $2+1=3$ fois, donc la réponse est $3\cdot 16m=48m$.

Résultat:

$6$

Pour que la planche ne tombe pas, son centre de gravité doit se situer entre deux chevilles. En d’autres termes, il doit y avoir une cheville à gauche du centre de gravité et une cheville à droite. Le centre de gravité de la planche se situe entre les chevilles numéro $5$ et $6$, donc d’après la phrase précédente, nous savons que nous avons besoin d’au moins une cheville numérotée au plus $5$ et une cheville numérotée au moins $6$. Pour obtenir le produit le plus petit, nous devons prendre la cheville la plus petite des deux parties. Par conséquent, nous prenons la cheville $1$ de la partie au plus $5$ et la cheville $6$ de la partie au moins $6$.

Si nous utilisons seulement ces deux chevilles, le centre de gravité se situera entre elles, donc la planche sera stable. Et puisque la solution prouve essentiellement que le produit ne peut pas être plus petit, nous pouvons dire que le produit minimal des chevilles restantes sera $6$.

Résultat:

$5$

Nous savons qu’il y avait une mode unique : $4$. Par conséquent, le nombre de fois que le nombre $4$ apparaît dans notre ensemble de données doit être supérieur à celui de tout autre nombre. D’après les nombres connus, les plus grands sont $3$ et $5$, tous deux représentés deux fois. Par conséquent, $4$ doit être représenté au moins $3$ fois, cependant, il n’est représenté qu’une seule fois pour le moment. Ainsi, sur les $3$ entiers inconnus, que Jacob a oubliés, au moins deux doivent être $4$.

Nous connaissons donc les valeurs de $10$ sur les $11$ nombres dans l’ensemble de données. Regardons maintenant la deuxième condition : la médiane doit également être $4$. Lorsque nous ordonnons les $10$ nombres connus par ordre croissant, nous obtenons : $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$, $8$, $9$. Lorsque nous ajoutons à cela le onzième nombre, le nombre du milieu doit être $4$. Le milieu de cet ensemble de données est actuellement entre les nombres $4$ et $5$, donc si le onzième nombre était $5$ ou plus, le nombre du milieu serait $5$, ce qui ne respecte pas la condition. Pour que cela soit respecté, le onzième nombre doit donc être $4$ ou moins. Puisque nous voulons que la moyenne arithmétique soit aussi grande que possible, nous choisirons un autre nombre $4$. Maintenant, nous connaissons tous les onze nombres de l’ensemble de données : $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$, $8$, $9$. Leur moyenne arithmétique est leur somme divisée par leur quantité, ce qui nous donne $\frac{55}{11}=5$.

Résultat:

$48$

Appelons la distance totale entre les maisons $s$, la distance parcourue par Simon $s_{\mathit{si}}$ et la distance parcourue par Barbara $s_{\mathit{ba}}$. Nous pouvons remarquer que $s=s_{\mathit{si}}+s_{\mathit{ba}}$, donc pour trouver $s$, nous devons simplement trouver les deux distances parcourues par Simon et Barbara. Tout d’abord, nous pouvons facilement déterminer $s_{\mathit{si}}$ en utilisant la formule $v=\frac{s}{t}$, réarrangée sous la forme $s=v\cdot t$, où $v$ est la vitesse et $t$ le temps. Par conséquent, $s_{\mathit{si}}=v_{\mathit{si}}\cdot t_{\mathit{si}}=30\mathrm{km}∕h\cdot 1h=30\mathrm{km}$.

Cependant, nous devons encore trouver $s_{\mathit{ba}}$ pour déterminer $s$. Pour ce faire, nous allons exprimer le temps qu’il a fallu à Simon pour parcourir la moitié de $s$ en fonction de $s$. D’après $t=\frac{s}{v}$, nous pouvons déterminer que le temps pour parcourir $\frac{s}{2}$ pour Simon qui roule à $30\mathrm{km}∕h$ sera $t=\frac{\frac{s}{2}}{v}=\frac{s}{2\cdot v}=\frac{s}{2\cdot 30\mathrm{km}∕h}=\frac{s}{60\mathrm{km}∕h}$. En utilisant cela, nous pouvons également exprimer le temps pendant lequel Barbara a voyagé ($t_{\mathit{ba}}$) : ce sera $1$ heure moins ce temps. Donc, $t_{\mathit{ba}}=1h-\frac{s}{60\mathrm{km}∕h}$. Maintenant, nous pouvons exprimer la distance parcourue par Barbara $s_{\mathit{ba}}$ comme $s_{\mathit{ba}}=v_{\mathit{ba}}\cdot t_{\mathit{ba}}=90\mathrm{km}∕h\cdot (1h-\frac{s}{60\mathrm{km}∕h})=90\mathrm{km}-\frac{90\mathrm{km}∕h\cdot s}{60\mathrm{km}∕h}=90\mathrm{km}-\frac{3}{2}\cdot s$.

Maintenant que nous connaissons la valeur de $s_{\mathit{si}}$ et que nous avons exprimé $s_{\mathit{ba}}$ en fonction de $s$, nous pouvons simplement évaluer le total $s$ comme suit :

Ainsi, la distance entre la maison de Barbara et celle de Simon est $48\mathrm{km}$.

Résultat:

$6$

Nous devons calculer le dernier chiffre du produit :

Puisque nous ne nous soucions que du dernier chiffre de toute la multiplication, nous pouvons aborder ce problème en considérant uniquement le produit des derniers chiffres de toutes les parenthèses.

Nous pouvons d’abord commencer par écrire quelques nombres initiaux à l’intérieur des parenthèses :

Dans cette séquence de nombres, nous pouvons remarquer que le dernier chiffre suit un motif répétitif : $2$, $4$, $8$, $6$. Étant donné qu’il y a un motif dans le dernier chiffre des nombres à l’intérieur des parenthèses, le dernier chiffre du produit proviendra d’une multiplication répétée des nombres dans ce motif : $2\cdot 4\cdot 8\cdot 6\cdot 2\cdot 4\cdot 8\cdot 6\cdot \dots$.

Si nous commençons à écrire uniquement les derniers chiffres des étapes intermédiaires dans cette multiplication, nous obtiendrons la séquence suivante de nombres : $8$, $4$, $4$, $8$, $2$, $6$, $6$, $2$, $8$, $4$, $4$, $8$, $2$, …. Ici, nous pouvons de nouveau remarquer qu’il y a un motif répétitif $8$, $4$, $4$, $8$, $2$, $6$, $6$, $2$, cette fois de longueur $8$. Le dernier chiffre de toute la multiplication sera donc l’un des chiffres de ce motif. Comme il y a en tout $2023$ multiplications entre les $2024$ parenthèses dans notre équation, nous pouvons diviser $2023$ par $8$, la longueur du motif, et le reste nous dira dans quelle position du motif répétitif nous nous trouverons après avoir multiplié tous les nombres.

$2023:8=252\text{, reste }7$, donc le dernier chiffre du produit entier est $6$ car c’est le $7$ème chiffre dans le motif de $8$ chiffres que nous avons identifié plus tôt.

Résultat:

$1$

Dans le tirage au sort d’aujourd’hui, John reçoit $30$ fois plus de tickets. Mais puisque tout le monde a reçu $30$ fois plus de tickets, le nombre total de tickets est $30$ fois plus élevé également. Ainsi, bien que John ait $30$ fois plus de tickets dans le tirage, ceux-ci forment la même fraction de tous les tickets que hier. Donc la probabilité que John gagne doit être la même que celle d’hier. Autrement dit, elle est $1$ fois plus grande.

Résultat:

$81$

Le rayon du nouveau fil est un tiers du rayon original et comme l’aire d’un cercle est proportionnelle au carré du rayon, la section transversale du nouveau fil doit être $S^{\prime }={\left(\frac{1}{3}\right)}^{2}S=\frac{1}{9}S$. Le volume du fil ne pouvait pas changer, donc la diminution de la section transversale à un neuvième implique que la longueur du fil doit avoir augmenté à ${\ell }^{\prime }=9\ell$. La résistivité est la propriété du matériau, donc elle reste la même. Maintenant, nous pouvons calculer la résistivité du nouveau fil pour être

De cela, nous voyons que la résistivité du nouveau fil est $81$ fois celle du fil original, donc la valeur de $k$ est $81$.

Résultat:

$49$

Soit $x$ le numéro du maillot au milieu. Il y a $\frac{75-1}{2}=37$ maillots avant ce maillot et $37$ maillots après ce maillot. Les cinq premiers maillots ont donc les numéros $x-37$, $x-36$, $x-35$, $x-34$ et $x-33$, tandis que les cinq derniers maillots ont les numéros $x+33$, $x+34$, $x+35$, $x+36$ et $x+37$. La condition dans le problème se traduit par l’équation

Ainsi, le numéro sur le maillot au milieu était $x=49$.

Résultat:

$\frac{2}{11}$

Soit $m$ la masse des bananes. Nous savons qu’elles contiennent $\frac{3}{4}m$ d’eau et $\frac{1}{4}m$ de matière sèche. Ainsi, chaque moitié de bananes contient $\frac{1}{8}m$ de matière sèche. Pour les bananes séchées dans le déshydrateur, la partie sèche forme $75\%$ des bananes, donc ces bananes pèsent maintenant $\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}m=\frac{1}{6}m$ et l’eau qu’elles contiennent pèse $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}m=\frac{1}{24}m$. De même, les bananes du déshydrateur par congélation pèsent $\frac{10}{9}\cdot \frac{1}{8}m=\frac{5}{36}m$ et l’eau pèse $\frac{1}{10}\cdot \frac{5}{36}m=\frac{1}{72}m$.

Au total, la masse de la poudre sera $\frac{1}{6}m+\frac{5}{36}m=\frac{11}{36}m$ dont $\frac{1}{24}m+\frac{1}{72}m=\frac{1}{18}m$ est constituée d’eau. Ainsi, la fraction d’eau dans la poudre est

Résultat:

$1,25$

Lorsqu’il saute, Karl gagne de l’énergie. Pour Karl, qui pèse $m=75\mathrm{kg}$, pour sauter à la hauteur $h_0=1m$, il doit gagner de l’énergie $E=\mathit{mg}{h}_0$. Qu’est-ce qui change dans l’ascenseur en mouvement? Le poids indique moins car l’accélération gravitationnelle est différente. Soit $g^{\prime }$ la nouvelle accélération gravitationnelle. Par conséquent, Karl agit sur le poids avec une force $F_g=m{g}^{\prime }$. Mais le poids indique un poids $m^{\prime }=60\mathrm{kg}$, car il "pense" que tout se passe avec une accélération gravitationnelle normale. Ainsi, le fait qu’il indique un poids $m^{\prime }$ signifie qu’il y a une force $m^{\prime }g$ agissant sur lui. Mais c’est $F_g$, ce qui donne

Revenons maintenant au saut. Puisque l’accélération gravitationnelle a changé, Karl sautera à une hauteur $h$ en utilisant l’énergie $E$. Cela se convertit en énergie potentielle $E=m{g}^{\prime }h$. Cela signifie que Karl sautera à la hauteur

Résultat:

$55$

Comptons les nombres que Peter n’utilise pas. Les multiples de $3$ entre $1$ et $100$ sont $3$, $6$, $\text{…}$, $99$, donc il y en a $99:3=33$. De plus, il y a $19$ nombres qui contiennent le chiffre $3$ (10 d’entre eux ont $3$ comme chiffre des unités, 10 comme chiffre des dizaines, mais le nombre $33$ figure dans ces deux groupes). Peter n’utilise aucun des nombres de ces deux groupes. Mais il y a certains nombres qui appartiennent aux deux groupes, à savoir les nombres $3$, $30$, $33$, $36$, $39$, $63$, $93$ qui doivent être comptés une seule fois. Par conséquent, Peter n’utilise pas $33+19-7=45$ nombres. Il utilise tous les autres nombres, donc il utilise $100-45=55$ nombres.

Résultat:

$133$

Soit $v$ la vitesse de Thérèse. Pendant les $t_0=1s$ suivant la remarque du piéton, Thérèse continue à la vitesse $v$, donc elle parcourt la distance $s_1=v{t}_0$. Ensuite, elle commence à freiner avec une force constante $F$. Cette force agit sur la distance $s_2$, donc elle exerce un travail $W=F{s}_2$. Ce travail a été effectué pour diminuer l’énergie cinétique $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ de la voiture où $m$ est la masse de la voiture. Par conséquent, nous obtenons que $F{s}_2=\frac{1}{2}m{v}^2$, ce qui signifie que la distance sur laquelle la voiture s’arrête après avoir commencé à freiner est

L’énoncé du problème nous dit que lorsque Thérèse conduisait la voiture à la vitesse $v_1=15m∕s$, sa distance de freinage $s_1+s_2$ était $s=33m$. En utilisant cela, nous pouvons exprimer la quantité inconnue $\frac{m}{F}$ comme

et l’insérer dans la distance de freinage $s^{\prime }=s_1^{\prime }+s_2^{\prime }$ pour la vitesse $v_2=35m∕s$ afin d’obtenir

Cela signifie que la distance de freinage de Thérèse à partir de la vitesse $v_2=35m∕s$ serait $s^{\prime }=133m$.

Résultat:

$100$

Appelons la surface requise $S$, de sorte que le volume du plancher de danse soit $V=S\cdot 10\mathrm{cm}$. Lorsqu’il est complètement chargé, la surface supérieure sera au même niveau que l’eau qui l’entoure, et il déplace un volume $V$ d’eau. L’eau déplacée aura une masse de $V\cdot 1000\mathrm{kg}∕m^3$, et cela doit être égal à la masse du plancher de danse plus les $4000\mathrm{kg}$ placés au-dessus. Cette masse sera $V\cdot 600\mathrm{kg}∕m^3+4000\mathrm{kg}$. En résolvant pour $V$, nous obtenons $V=10m^3$, de sorte que la surface du plancher de danse doit être $S=\frac{V}{0,1m}=100m^2$.

Résultat:

$12$

Considérons les angles autour du sommet $F$. Nous savons que $\mathit{\angle EFC}=24^{\circ }$ et $\mathit{\angle DFE}=60^{\circ }$ puisque le triangle $\mathit{DEF}$ est équilatéral. Par conséquent, $\mathit{\angle AFD}=180^{\circ }-\mathit{\angle EFC}-\mathit{\angle DFE}=180^{\circ }-24^{\circ }-60^{\circ }=96^{\circ }$. Dans le triangle $\mathit{ADF}$, nous connaissons maintenant deux angles, ce qui donne $\mathit{\angle DAF}=180^{\circ }-\mathit{\angle ADF}-\mathit{\angle DFA}=180^{\circ }-42^{\circ }-96^{\circ }=42^{\circ }$.

Nous voyons que $\mathit{\angle DAF}=\mathit{\angle ADF}$, ce qui signifie que le triangle $\mathit{ADF}$ est isocèle avec $\mathit{AF}=\mathit{DF}$. Le segment $\mathit{DF}$ est un côté du triangle équilatéral $\mathit{DEF}$, ce qui signifie que $\mathit{DE}=\mathit{EF}=\mathit{FD}$. De cela, nous savons que $\mathit{AF}=\mathit{EF}$, donc le triangle $\mathit{AEF}$ est isocèle avec la base $\mathit{AE}$.

Nous savons déjà que $\mathit{\angle AFE}=\mathit{\angle AFD}+\mathit{\angle DFE}=96^{\circ }+60^{\circ }=156^{\circ }$. Par conséquent, à partir du triangle isocèle $\mathit{AEF}$, nous obtenons $\mathit{\angle EAC}=\mathit{\angle EAF}=\frac{180^{\circ }-156^{\circ }}{2}=12^{\circ }$.

Résultat:

$42$

Dans les parties descendantes, la voiture augmente son énergie et dans les parties horizontales, elle perd son énergie. Par conséquent, la voiture s’arrête sur l’une des parties horizontales. Cela se produit au moment où son énergie tombe à $0$.

Au début, l’énergie totale de la voiture est la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique. Pour simplifier, supposons que l’énergie potentielle de la voiture au début est $0J$. Ainsi, l’énergie de la voiture consiste entièrement en son énergie cinétique, qui est $E_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2$, où $m=60g$ est la masse de la voiture et $v_0=5m∕s$ est la vitesse initiale de la voiture.

Chaque fois que la voiture passe par la partie descendante, son énergie augmente par un changement de l’énergie potentielle. Puisqu’elle descend de la hauteur $h_0=5\mathrm{cm}$, elle gagne de l’énergie $E_{p_0}=\mathit{mg}{h}_0$. Dans les parties horizontales, il y a une force de friction $F_t=\mathit{fmg}$, où $f=0,4$ est le coefficient de friction. Elle agit sur la longueur $s=20\mathrm{cm}$, donc elle exerce le travail $W=F\cdot s=\mathit{fmgs}$. Pour cette raison, l’énergie de la voiture diminue de $W$.

Après chaque paire suivante de parties horizontales et verticales, l’énergie de la voiture diminue de $E_{p_0}-W=\mathit{mg}{h}_0-\mathit{fmgs}$. Après $n$ de telles paires de parties horizontales et verticales, l’énergie diminue de $n(E_{p_0}-W)$ et nous voulons trouver le plus petit $n$ tel que $E_0-n(E_{p_0}-W)\le 0$. En résolvant cette inéquation, nous obtenons

Ainsi, la voiture s’arrête à la $42$e partie horizontale.

Résultat:

$12153$

Si nous avons de la chance, nous remarquons que $37\cdot 21=777$. Cela nous permet d’effectuer la multiplication plus facilement. Imaginons la procédure habituelle de multiplication à la main. D’habitude, nous multiplions uniquement des nombres à un chiffre. Mais maintenant, nous savons que le produit $37\cdot 21=777$, donc nous pouvons effectuer cette multiplication à chaque étape. En procédant ainsi, nous obtenons la multiplication comme dans la figure suivante.

Les nombres consécutifs $777$ ont un chiffre $7$ dans un ordre commun, donc nous les additionnons comme d’habitude. De cette façon, les chiffres $4$ et $8$ apparaissent dans le résultat. Il est visible que nous avons augmenté le nombre de chiffres de $1$, donc le résultat est un nombre à $2025$ chiffres. Trois d’entre eux sont le chiffre $7$ et les $2025-3=2022$ alternent entre $4$ et $8$, donc il y a $2022:2=1011$ de chacun d’eux. Au total, la somme de tous les chiffres du résultat est $3\cdot 7+1011\cdot 4+1011\cdot 8=12153$.

Résultat:

$2,4$

La capacité d’une batterie en $\mathrm{mAh}$ décrit une relation entre le courant de sortie de la batterie et le temps pendant lequel la batterie peut fournir ce courant. Par exemple, si une batterie avec une capacité de $4000\mathrm{mAh}$ est complètement chargée, elle peut fournir un courant électrique de $4000\mathrm{mA}$ pendant une heure ou un courant de $1000\mathrm{mA}$ pendant quatre heures ou quelque chose de similaire.

Étant donné que Majo peut changer l’appareil en charge, nous pouvons considérer l’ordinateur portable et le smartphone comme un seul appareil avec une capacité de $4000\mathrm{mAh}+3500\mathrm{mAh}=7500\mathrm{mAh}$. Au début, ils étaient tous deux à $20\%$ de leur capacité, donc au total ils contenaient la charge $0,2\cdot 7500\mathrm{mAh}=1500\mathrm{mAh}$. Les deux appareils se déchargent de telle manière qu’ils s’épuisent après $10$ heures. Donc, ils se déchargent de $7500\mathrm{mAh}:10=750\mathrm{mAh}$ chaque heure.

En même temps, Majo recharge les appareils avec un chargeur ayant un courant de sortie de $3,25A=3250\mathrm{mA}$, donc après une heure, il recharge $3250\mathrm{mAh}$. Par conséquent, la charge des batteries augmente de $3250\mathrm{mAh}-750\mathrm{mAh}=2500\mathrm{mAh}$ chaque heure. Majo doit augmenter la charge de $7500\mathrm{mAh}-1500\mathrm{mAh}=6000\mathrm{mAh}$, donc les appareils seront complètement chargés en

Résultat:

$18$

La seule raison pour laquelle Lexi doit exercer un travail est qu’elle augmente l’énergie potentielle de l’eau dans le seau. Le seau est un cylindre avec une aire de base $S=400{\mathrm{cm}}^2=0,04m^2$ et une hauteur $h=30\mathrm{cm}=0,3m$, donc la masse de l’eau qu’il contient est $m={\rho }_{\text{eau}}\mathit{Sh}$. Le centre de gravité de l’eau dans le seau se situe à la moitié de la hauteur du seau, soit à $\frac{h}{2}$. Par conséquent, l’augmentation de l’énergie potentielle de l’eau, et donc le travail que Lexi doit exercer, est :

Résultat:

$53$

Nous utiliserons plusieurs fois l’inégalité triangulaire. Dans le triangle $\mathit{ABC}$, elle nous indique que la longueur du côté $\mathit{AC}$ est supérieure à $19\mathrm{cm}-12\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}$, mais inférieure à $19\mathrm{cm}+12\mathrm{cm}=31\mathrm{cm}$. La longueur doit être un entier, donc la longueur de $\mathit{AC}$ peut être un entier compris entre $8\mathrm{cm}$ et $30\mathrm{cm}$. Pour la même raison (appliquée dans les triangles $\mathit{CDE}$ et $\mathit{EFA}$), nous obtenons que la longueur de $\mathit{CE}$ est un entier entre $13\mathrm{cm}$ et $15\mathrm{cm}$ et que la longueur de $\mathit{EA}$ est un entier entre $6\mathrm{cm}$ et $12\mathrm{cm}$.

Pour obtenir le périmètre maximal du triangle $\mathit{ACE}$, nous devons choisir les plus grandes longueurs possibles de ses côtés. Cependant, l’inégalité triangulaire doit être respectée. Donc, même si nous choisissons les plus grandes longueurs possibles pour $\mathit{CE}$ et $\mathit{EA}$, nous pouvons seulement choisir une longueur de $\mathit{AC}$ inférieure à $15\mathrm{cm}+12\mathrm{cm}=27\mathrm{cm}$. Par conséquent, le plus grand périmètre possible du triangle est atteint lorsque $\mathit{AC}=26\mathrm{cm}$, $\mathit{CE}=15\mathrm{cm}$ et $\mathit{EA}=12\mathrm{cm}$, auquel cas le périmètre est $26\mathrm{cm}+15\mathrm{cm}+12\mathrm{cm}=53\mathrm{cm}$.

Résultat:

$1012$

Le produit de deux carrés parfaits est encore un carré parfait – si nous multiplions $a^2$ par $b^2$, nous obtenons ${(\mathit{ab})}^2$. Nous allons essayer d’utiliser cela pour simplifier le problème.

Regardons le produit $1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\cdot \dots \cdot 2023!\cdot 2024!$. Si nous regroupons les termes consécutifs ainsi $(1!\cdot 2!)\cdot (3!\cdot 4!)\cdot \dots \cdot (2023!\cdot 2024!)$ et écrivons chaque factorielle de nombre pair sous la forme $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$, nous pouvons simplifier le produit sous la forme

La seconde parenthèse est un produit de carrés parfaits, donc c’est également un carré parfait. Pour que le produit entier soit un carré parfait, il faut que la première parenthèse soit un carré parfait. C’est un produit de nombres pairs, donc nous pouvons la simplifier en extrayant le nombre deux de chaque terme. De cette façon, nous obtenons

Le nombre $2^{1012}$ est un carré parfait (l’exposant est pair), donc la seule obstruction pour que le produit entier soit un carré parfait est le terme $1012!$. Dans l’énoncé du problème, nous sommes autorisés à omettre un terme, ce qui nous indique que nous devrions supprimer le terme $1012!$. Comme l’énoncé du problème affirme que ce terme est unique, nous pouvons conclure que nous recherchons le nombre $k=1012$.

Résultat:

$24$

La situation autour de chaque poulie est illustrée dans la figure.

Les forces dans la corde sont toutes les mêmes $F$ car la tension dans la corde est uniforme tout au long de la corde (bien entendu, cela diffère pour les différentes cordes). Pour que la poulie reste au repos, il doit également y avoir une force de magnitude $2F$ dirigée vers le haut.

Bien qu’il semble que nous devions résoudre le problème de l’infinité des poulies, cela ne nous dérange pas du tout. En effet, puisque les poulies et les cordes sont sans masse, nous pouvons trouver la somme de tous les poids en regardant la force avec laquelle le système de poulies infini agit sur le plafond. Cela nous indique la somme des forces gravitationnelles agissant sur tous les poids, ce qui nous donne leur poids total.

Nous allons utiliser l’observation du début pour déterminer la force qui agit sur le plafond.

Commençons par regarder la troisième poulie. Nous savons qu’il y a un poids de masse $3\mathrm{kg}$, sur lequel agit une force gravitationnelle de magnitude $3\mathrm{kg}\cdot 10N∕\mathrm{kg}=30N$. La tension dans la corde correspondante est donc également de $30N$, ce qui signifie qu’il doit y avoir une force de magnitude $2\cdot 30N=60N$ agissant sur la troisième poulie en direction vers le haut.

Ensuite, regardons la deuxième poulie. La force de magnitude $60N$ du paragraphe précédent crée une tension de même magnitude dans la corde autour de la deuxième poulie, ce qui signifie qu’il doit y avoir une force de magnitude $2\cdot 60N=120N$ agissant sur la deuxième poulie en direction vers le haut. En utilisant le même raisonnement pour la première poulie, il doit y avoir une force de magnitude $2\cdot 120N=240N$ agissant sur la première poulie en direction vers le haut. Cependant, cette force est également la magnitude de la force avec laquelle le système de poulies entier agit sur le plafond et que nous voulions déterminer.

Ainsi, le système de poulies entier agit sur le plafond avec une force de $240N$, donc la masse de tous les poids doit être $240N:10N∕\mathrm{kg}=24\mathrm{kg}$.

Résultat:

$216$

Tout d’abord, examinons les différences obtenues par Michel. Un nombre à $3$ chiffres peut être écrit sous la forme $100A+10B+C$, où $A$, $B$, et $C$ sont ses chiffres. Après avoir inversé les chiffres, Michel obtient le nombre $100C+10B+A$, de sorte qu’il obtient la différence

Nous voyons que la différence obtenue par Michel dépend uniquement de la différence entre le chiffre des centaines et le chiffre des unités du nombre original. Dans le problème, Michel travaille avec un nombre, puis avec ce nombre diminué de $31$. Il a obtenu le même résultat, donc ces deux nombres doivent avoir la même différence entre les chiffres des centaines et des unités. Maintenant, nous devons calculer les nombres ayant cette propriété.

Il y a deux cas possibles en fonction du chiffre des unités du nombre favori d’Anne. Si le chiffre des unités était $0$, la soustraction de $31$ le changerait en $9$. Par conséquent, le chiffre des centaines devrait également augmenter de $9$, ce qui est clairement impossible. Cela signifie que le nombre favori d’Anne n’a pas $0$ comme chiffre des unités, donc après la soustraction de $31$, le chiffre des unités diminue de $1$ et donc le chiffre des centaines doit également diminuer de $1$. Cela se produit uniquement si le nombre à $2$ chiffres formé par les deux derniers chiffres du nombre favori d’Anne est l’un des $00$, $01$, $\text{…}$, $30$.

Dans cette liste, nous devons effacer ceux ayant $0$ comme chiffre des unités, ce qui nous laisse $27$ possibilités. La dernière chose à faire est de déterminer les possibilités pour le chiffre des centaines. Il ne peut pas être $1$, car après avoir soustrait $31$, nous n’obtiendrons pas un nombre à $3$ chiffres. Mais les chiffres $2$, $3$, $\text{…}$, $9$ fonctionnent.

En combinant le chiffre des centaines avec les possibilités pour les deux autres chiffres, nous obtenons $8\cdot 27=216$ possibilités pour le nombre favori d’Anne.

Résultat:

$443256101330$

Chaque changement du chiffre $5$ en chiffre $6$ augmente la somme de Joseph de $1$, et de même chaque changement de $6$ en $5$ diminue la somme de $1$. Cela signifie que chaque changement de $5$ en $6$ annule un changement de $6$ en $5$, donc nous nous intéressons seulement à la différence dans le nombre d’occurrences des chiffres $5$ et $6$ dans les entiers positifs entre $1$ et $9876543210$.

Tout d’abord, remarquez que nous pouvons nous concentrer uniquement sur les chiffres $5$ et $6$ dans les positions dans lesquelles ces chiffres apparaissent dans le nombre $9876543210$. En effet, s’il y a un chiffre $5$ dans un ordre supérieur ou inférieur, nous pouvons échanger ce chiffre $5$ avec le chiffre $6$ (et de même chaque chiffre $6$ avec le chiffre $5$) pour obtenir un nombre qui a été compté par Joseph. Par conséquent, nous n’obtenons aucune différence entre le nombre de chiffres $5$ et $6$.

Nous nous concentrons maintenant uniquement sur les chiffres $5$ et $6$ dans l’ordre des millions et des centaines de milliers. De plus, la seule différence apparaît lorsque ces deux chiffres sont précédés du triple $987$ (sinon, nous pourrions appliquer la logique du paragraphe précédent). Dans cette condition, le chiffre $5$ apparaît $1000000$ fois comme chiffre des millions et $6\cdot 100000+43211=643211$ fois comme chiffre des centaines de milliers. De même, le chiffre $6$ apparaît $543211$ fois comme chiffre des millions et $6\cdot 100000=600000$ fois comme chiffre des centaines de milliers. Par conséquent, le nombre d’occurrences du chiffre $5$ est de $(1000000+643211)-(543211+600000)=500000$ supérieur au nombre d’occurrences du chiffre $6$.

Ainsi, le changement du chiffre $5$ en chiffre $6$ augmente la somme des chiffres de $500000$, donc Joseph obtiendra le résultat

Résultat:

$2,4$

Soit $V$ le volume de Ferb, $h=0,6m$ sa hauteur et ${\rho }_{\mathit{Ferb}}=125\mathrm{kg}∕m^3$ sa densité. Après le saut, le volume original de Ferb se remplit d’eau. De cette manière, le lac perd une énergie $E=V{\rho }_{\mathit{eau}}g\frac{h}{2}$, puisque la masse de cette eau est $V{\rho }_{\mathit{eau}}$ et que son centre de gravité se trouve à une profondeur de $\frac{h}{2}$ (le lac est suffisamment grand, donc son niveau de surface restera le même). Nous devons trouver la hauteur $H$ que Ferb atteindra. Au point le plus haut, il n’a plus d’énergie cinétique, donc l’énergie qu’il a reçue de l’eau se convertit en énergie potentielle $E=V{\rho }_{\mathit{Ferb}}\mathit{gH}$. En comparant les deux expressions pour $E$, nous trouvons

Nous voyons que la base supérieure de Ferb atteindra une hauteur de $2,4m$.

Résultat:

$46$

Chaque $m$-gone régulier peut être divisé en $m$ triangles isocèles congruents comme dans la figure.

Leurs angles opposés à la base doivent s’additionner pour donner $360^{\circ }$. Tous les autres angles contribuent à la somme des angles du $m$-gone. Puisque la somme des angles dans chaque triangle est de $180^{\circ }$, cela signifie que la somme des angles dans un $m$-gone est $m\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }=(m-2)\cdot 180^{\circ }$. Chaque angle dans un polygone $m$-gone régulier a la même magnitude, donc la magnitude de chacun d’eux est $\frac{m-2}{m}\cdot 180^{\circ }$.

Si nous voulons arranger les polygones comme l’exige l’énoncé, la somme des angles au sommet qu’ils ont en commun doit être de $360^{\circ }$. Donc, si nous désignons par $x$, $y$, et $z$ les nombres de sommets des polygones réguliers et utilisons les informations du paragraphe précédent, nous devons avoir

Nous pouvons diviser toute l’équation par $180^{\circ }$ et simplifier pour obtenir

Essayons de trouver tous les triplets $(x,y,z)$ qui satisfont cette équation. Sans perte de généralité, supposons que $x>y>z$. Si $z\ge 6$, alors $y\ge 7$ et $x\ge 8$. Mais alors