Probleemopgaven

Antwoord:

$50$

We bepalen eerst het aantal $3$-cijferige codes. Omdat we hiervoor elke combinatie van $000$ tot aan $999$ tellen, zijn het er $1000$. Elke poging duurt $3$ seconden, dus de totale tijd is $3\cdot 1000=3000$ seconden, ofwel $\frac{3000}{60}=50$ minuten.

Antwoord:

$900$

We zetten eerst alles om in basiseenheden. We weten dat $12,5\mathrm{cm}=0,125m$ en $15\mathrm{mm}=0,015m$. Nu kunnen we het volume van één plank vinden door alle drie de afmetingen met elkaar te vermenigvuldigen. Dit geeft een volume van $0,8m\cdot 0,125m\cdot 0,015m=0,0015m^3$. Om het gewicht van de plank te bepalen, vermenigvuldigen we het volume met de dichtheid van het hout, en dat geeft een massa van $0,0015m^3\cdot 600\mathrm{kg}∕m^3=0,9\mathrm{kg}$. Omdat het antwoord in gram moest zijn, rekenen we het nog om naar $0,9\mathrm{kg}=900g$.

Antwoord:

$2$

We merken op dat de kaarten $3$ en $4$ enkel mogen grenzen aan $6$ respectievelijk $1$. De kaarten $3$ en $4$ mogen dus maar hoogstens één buur hebben, dus ze moeten wel aan het begin dan wel einde van de rij geplaatst worden. De mogelijke volgordes zien er dan als volgt uit:

Vervolgens weten we welke getallen er naast $3$ en $4$ kunnen staan, dus passen we de volgordes aan als volgt:

We houden alleen de kaarten $2$ en $5$ over. In beide volgordes is er slechts één manier om deze in te vullen, en zo komen we tot de reeksen $3$, $6$, $2$, $5$, $1$, $4$ en $4$, $1$, $5$, $2$, $6$, $3$ als de enige twee mogelijke volgordes die aan de voorwaarde voldoen.

Antwoord:

$10$

Aangezien ze met dezelfde snelheid rennen, zal het Noa evenveel tijd kosten om bij de tweede berk te komen als Alba om bij de negende berk te komen. Dit geldt ook voor de volgende berken – ze zullen op hetzelfde moment bij de derde en achtste berk aankomen, bij de vierde en zevende berk, bij de vijfde en zesde berk... enzovoort. Echter, zodra Noa naar een berk met een hoger getal rent dan Alba, zullen ze elkaar voor de eerste keer ontmoeten. Dit gebeurt wanneer Noa onderweg is naar de zesde berk en Alba naar de vijfde berk. Ze zullen elkaar dan ook weer ontmoeten op de terugweg. Vanaf dit punt zal Noa steeds naar een berk met een hoger getal rennen dan Alba, waardoor ze elkaar op deze manier elke keer zullen ontmoeten, zowel op de heen- als terugweg naar elke volgende berk. In totaal zijn er vijf van deze berken (voor Noa de zesde tot en met de tiende berk, voor Alba de vijfde tot en met de eerste), dus ze zullen elkaar $5\cdot 2=10$ keer tegenkomen.

Antwoord:

$87$

Het verschil tussen twee opeenvolgende veelvouden van $181$ is $181$. Er is gegeven dat het vorige veelvoud van $181$ kilometer $7$ kilometer geleden was. Dus het volgende veelvoud van $181$ is over $181-7=174$ kilometer. Arnaud wil daar precies in $2$ uur zijn. Zijn gemiddelde snelheid moet daarom $v=\frac{174\mathrm{km}}{2h}=87$ kilometer per uur zijn.

Antwoord:

$35$

We beginnen met de eerste uitspraak. Stel dat deze onwaar is. Dit zou betekenen dat Mads’ getal gelijk is aan ofwel $1$, ofwel een priemgetal. De som van drie positieve gehele getallen kan nooit $1$ zijn, dus het moet wel een priemgetal zijn. Echter, Mads’ lievelingsgetal is nu een som van drie getallen uit $2$, $4$, $8$, $16$, en $32$. Deze getallen zijn allemaal even, en dus zal het lievelingsgetal ook even zijn. Het enige even priemgetal is $2$, terwijl de som groter dan $2$ is. Dit geeft ons een tegenspraak, wat betekent dat de eerste uitspraak wel waar moet zijn.

De eerste uitspraak is de enige uitspraak met een oneven getal. Hierdoor is de som van de ware uitspraken ook oneven, dus de tweede uitspraak moet dan waar zijn. Bekijk nu de uitspraak met getal $4$. Als deze de derde ware uitspraak zou zijn, dan zou Mads’ lievelingsgetal al $1+2+4=7$ zijn. In dat geval zou de uitspraak met nummer $8$ ook waar zijn, waardoor we vier ware uitspraken zouden hebben. Dat kan niet, dus de uitspraak met nummer $4$ moet onwaar zijn. Hierdoor moet Mads’ lievelingsgetal minstens $30$ zijn. De enige manier om dit waar te laten zijn, is als de uitspraak met nummer $32$ waar is. Dit maakt het lievelingsgetal van Mads $1+2+32=35$.

Het is eenvoudig na te gaan dat voor het getal $35$, de ware uitspraken precies degene met de nummers $1$, $2$, en $32$ zijn. Dus $35$ is inderdaad het favoriete nummer van Mads.

Antwoord:

$80$

Om zijn voeten in de spiegel te zien, moet er een lichtstraal zijn die van zijn schoenen naar de spiegel reist en zo weerkaatst wordt dat de straal naar zijn ogen op $160\mathrm{cm}$ hoogte gaat. Merk op dat zowel zijn ogen als zijn voeten zich op dezelfde horizontale afstand van de spiegel bevinden. Merk ook op dat de hoek van inval gelijk zal zijn aan de hoek van weerkaatsing zodra de straal de spiegel raakt. Dit leidt tot het volgende diagram:

Omdat de hoeken $\alpha$ en $\beta$ gelijk zijn, zullen ook de afstanden $a$ en $b$ gelijk zijn. Bovendien, en dat is het belangrijkste, zullen de hoogtes die de straal aflegt, $h_a$ en $h_b$, ook gelijk zijn. Daarom zal het punt waar de straal de spiegel raakt precies in het midden liggen tussen Michael’s voeten en zijn ogen. Aangezien zijn ogen zich op een hoogte van $160\mathrm{cm}$ bevinden, vindt de reflectie plaats op een hoogte van $\frac{160\mathrm{cm}}{2}=80\mathrm{cm}.$

Dus de maximale hoogte van de onderkant van de spiegel kan ook op $80\mathrm{cm}$ boven de grond liggen. Als de spiegel hoger geplaatst zou worden, zou de straal niet op deze hoogte kunnen reflecteren, en zou Michael zijn schoenen niet in de spiegel kunnen zien.

Antwoord:

$5$

Laten we eerst kijken naar het getal in de linkerbovenhoek. Elk getal in de tabel moet van hieruit bereikbaar zijn door naar beneden of naar rechts te gaan. Dit betekent dat alle getallen in de tabel groter moeten zijn dan dit getal, dus het getal in de linkerbovenhoek moet $1$ zijn. Op dezelfde manier moet het getal $6$ in de rechterbenedenhoek staan.

Laten we nu kijken waar het getal $2$ kan worden geplaatst. Dit moet in een vakje naast het vakje met $1$ staan (anders zou er een vakje zijn met een getal tussen $1$ en $2$, wat onmogelijk is). We hebben dus twee mogelijkheden voor de positie van het getal $2$:

Geval 1.

Het getal $2$ staat rechts van het getal $1$. In dit geval zijn er drie mogelijkheden voor het getal rechts van het getal $2$ (dit kan $3$, $4$ of $5$ zijn). Voor elke keuze hiervoor kunnen de overblijvende vakjes op slechts één manier worden ingevuld.

Geval 2.

Het getal $2$ staat onder het getal $1$. In dit geval zijn er opnieuw drie mogelijkheden voor het vakje rechts van het vakje met $2$. De resterende vakjes kunnen op één manier worden ingevuld, maar niet elke mogelijkheid levert een geldige oplossing op (als het getal $3$ rechts van $2$ staat, krijgen we geen geldige oplossing, omdat in de tweede kolom het bovenste getal groter is dan het onderste).

We tellen nu de mogelijkheden uit beide gevallen op, wat ons $3+2=5$ geldige manieren oplevert om de kaarten in de tabel te plaatsen.

Antwoord:

$12$

Elk uur legt Bella $120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$ meer af dan Arend. Dit verschil blijft elke uur gelijk, tot het moment dat Bella precies $360^{\circ }$ meer heeft afgelegd dan Arend. Op dat moment heeft Bella één volledige omwenteling meer afgelegd dan Arend, en staan ze weer recht boven elkaar. Omdat Bella elk uur $30^{\circ }$ inhaalt, duurt het $\frac{360}{30}=12$ uur voordat ze $360^{\circ }$ heeft ingehaald.

Antwoord:

$3$

Omdat het aankondigingsbord recht naar de zon gericht staat, blijft de breedte van zijn schaduw gelijk aan de oorspronkelijke breedte van $5m$. De hoogte van de schaduw verandert echter. We weten dat de hoogte van de boom van $3m$ een schaduw van $0,75m$ werpt. De verhouding tussen de hoogte van de boom en de lengte van zijn schaduw is dus $\frac{3}{0,75}=\frac{4}{1}$. Deze verhouding geldt ook voor het aankondigingsbord, waardoor de lengte van zijn schaduw $\frac{2,4m}{4}=0,6m$ is. De totale oppervlakte van de schaduw is de lengte vermenigvuldigd met de breedte, dus $0,6m\cdot 5m=3m^2$.

Antwoord:

$160$

Laten we de temperatuur in graden Celsius $N\circ C$ noemen. We weten dat de equivalente temperatuur in Fahrenheit kan worden gevonden als $\left(\left(\frac{9}{5}\cdot N\right)+32\right)\circ F$. Echter weten we dat deze temperatuur twee keer de temperatuur in graden Celsius moet zijn, dus $2N\circ F$. Daarom kunnen we een vergelijking opstellen: $((\frac{9}{5}\cdot N)+32)=2N$. We herschikken de vergelijking als volgt:

Hieruit volgt

Dus de temperatuur in de oven was $160\circ C$.

Antwoord:

$64$

Na één dag zal Mart $1$ pagina hebben gelezen, na twee dagen $1+2$ pagina’s, na drie dagen $1+2+3$ pagina’s, enzovoort. Dus, na $n$ dagen zal hij $1+2+\dots +n$ pagina’s hebben gelezen. Met een formule uit de cheatsheet kunnen we deze som schrijven als $\frac{n(n+1)}{2}$. De vraag is wat het kleinste getal $n$ is waarvoor geldt dat $\frac{n(n+1)}{2}$ minstens $2024$ is. We moeten dus een ongelijkheid oplossen:

We kunnen schatten dat voor $n=60$ het product $n(n+1)$ ongeveer $3600$ is, dus het $n$ dat we zoeken zal iets groter zijn. En inderdaad vinden we dat $63\cdot 64=4032\le 4048$ en $64\cdot 65=4160\ge 4048$. Daarom zal het Mart $64$ dagen kosten om het hele boek te lezen.

Antwoord:

$242$

Laten we beginnen met het bekijken van $2$-cijferige palindromen. Omdat ze hetzelfde moeten zijn of ze nu van links of van rechts worden gelezen, moeten deze getallen bestaan uit twee dezelfde cijfers. Dus $2$-cijferige palindromen zijn de getallen $11$, $22$, $33$... tot en met $99$. We kunnen een eigenschap opmerken die al deze getallen delen: ze zijn allemaal deelbaar door $11$. Daarom moet, wanneer we $3$ van deze getallen optellen, hun som ook deelbaar zijn door $11$.

De grootste mogelijke som van drie $2$-cijferige palindromen is $99+99+99=297$. Daarom moeten we dalen vanaf $297$ tot de eerste palindroom die deelbaar is door $11$. De eerste palindromen die we moeten controleren zijn $292$, $282$, $272$... eenvoudigweg getallen in de vorm $2X2$, waarbij $X$ een geheel getal is. We kunnen een regel voor deelbaarheid door $11$ gebruiken die stelt dat de som van de cijfers op even posities min de som van de cijfers op oneven posities gelijk moet zijn aan $0$ of een veelvoud van $11$. Vanaf $292$ naar beneden gaand, is de eerste zulke palindroom $242$, waar $4-(2+2)=0$. Het enige wat overblijft is te controleren of we echt $3$ $2$-cijferige palindromen kunnen vinden die optellen tot $242$ – en inderdaad, we vinden dat dit $77+77+88=242$ zijn.

Antwoord:

$860$

De gemiddelde dichtheid van een object kan eenvoudig worden gevonden als de totale massa gedeeld door het totale volume. We weten dat het totale volume $100\mathrm{ml}=100{\mathrm{cm}}^3$ is, dus we hoeven alleen de totale massa te vinden. Deze kan worden gevonden als de som van de massa van de vulling en de massa van het deeg. Voor de massa’s van deze delen gebruiken we eenvoudig de formule $m=\rho \cdot V$, waarbij $\rho$ de dichtheid is en $V$ het volume. We moeten echter voorzichtig zijn met de eenheden. Laten we de waarden $15\mathrm{ml}=15{\mathrm{cm}}^3$ gebruiken voor het volume van de vulling ($V_f$) en $100\mathrm{ml}-15\mathrm{ml}=85\mathrm{ml}=85{\mathrm{cm}}^3$ voor het volume van het deeg ($V_d$). We zetten de twee gegeven dichtheden om naar overeenkomstige eenheden. $1200\mathrm{kg}∕m^3=1,2g∕{\mathrm{cm}}^3$ voor de dichtheid van de vulling (${\rho }_f$) en $800\mathrm{kg}∕m^3=0,8g∕{\mathrm{cm}}^3$ voor de dichtheid van het deeg (${\rho }_d$). Nu is de totale massa van de croissant

Nu kunnen we eenvoudig de gemiddelde dichtheid vinden als totale massa gedeeld door totaal volume:

Aangezien we ons antwoord in $\mathrm{kg}∕m^3$ moeten geven, is ons antwoord $860\mathrm{kg}∕m^3$.

Antwoord:

$48$

We weten dat de omtrek van de grote rechthoek $16m$ is, dus de som van de lengtes van alle volle lijnen is $16m$. Als we naar de stippellijnen kijken, zien we dat we deze kunnen herschikken om dezelfde rechthoek te creëren als de oorspronkelijke met volle lijnen. Dus de som van hun lengtes is gelijk aan de som van de lengtes van alle volle lijnen, dus ook $16m$. Nu is de vraag hoe vaak we welke lijnen gebruiken bij het optellen van de omtrekken van al deze $9$ delen. Elke volle lijn wordt precies één keer gebruikt, aangezien elk segment van elke volle lijn tot precies $1$ van de $9$ omtrekken behoort. De stippellijnen liggen echter altijd tussen twee delen in, dus elk segment van elke stippellijn behoort tot precies $2$ van de $9$ omtrekken. We weten dus dat elke stippellijn twee keer wordt gebruikt en elke volle lijn één keer. In totaal gebruiken we de volledige omtrek van de oorspronkelijke rechthoek $2+1=3$ keer, dus het antwoord is $3\cdot 16m=48m$.

Antwoord:

$6$

Om ervoor te zorgen dat de plank niet valt, moet het zwaartepunt tussen twee pinnen liggen. Met andere woorden, er moet minstens één pin links van het zwaartepunt zijn en één pin rechts ervan. Het zwaartepunt van de plank ligt tussen de pinnen met nummer $5$ en $6$, dus we hebben minstens één pin nodig met een nummer van hoogstens $5$ en één pin met een nummer van minimaal $6$.

Om het kleinste product te verkrijgen, nemen we de kleinste pin uit elk deel. Daarom kiezen we pin $1$ uit het deel met hoogstens $5$ en pin $6$ uit het deel met minimaal $6$.

Als we alleen deze twee pinnen gebruiken, zal het zwaartepunt ertussen liggen, zodat de plank stabiel blijft. Aangezien de oplossing aantoont dat het product niet kleiner kan zijn, kunnen we concluderen dat het minimale product van de overgebleven pinnen $6$ is.

Antwoord:

$5$

We weten dat de modus uniek is, namelijk $4$. Daarom moet het aantal keren dat het getal $4$ voorkomt in onze dataset strikt groter zijn dan het aantal keren dat enig ander getal voorkomt. Van de bekende getallen komen $3$ en $5$ elk twee keer voor. Dus moet $4$ minstens $3$ keer voorkomen; momenteel komt het echter maar één keer voor. Daarom moeten van de $3$ onbekende getallen die Jacob vergat er ten minste twee gelijk zijn aan $4$.

We kennen nu de waarden van $10$ van de $11$ getallen in de dataset. Laten we nu naar de tweede voorwaarde kijken: de mediaan moet ook $4$ zijn. Wanneer we de $10$ bekende getallen in oplopende volgorde rangschikken, krijgen we: $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$, $8$, $9$. Wanneer we het elfde getal toevoegen, moet het middelste getal $4$ zijn. Het midden van deze set ligt momenteel tussen de getallen $4$ en $5$, dus als het elfde getal $5$ of groter was, zou het middelste getal $5$ zijn, wat niet aan de voorwaarde voldoet. Om aan de voorwaarde te voldoen, moet het elfde getal dus $4$ of lager zijn. Aangezien we willen dat het rekenkundig gemiddelde zo groot mogelijk is, kiezen we nog een $4$. Nu kennen we alle elf getallen in de dataset: $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$, $8$, $9$. Het rekenkundig gemiddelde is hun som gedeeld door hun aantal, wat ons $\frac{55}{11}=5$ oplevert.

Antwoord:

$48$

Laten we de totale afstand tussen de huizen noteren als $s$, de afstand die Simon heeft afgelegd als $s_{\mathit{si}}$ en de afstand die Barbara heeft afgelegd als $s_{\mathit{ba}}$. We kunnen opmerken dat $s=s_{\mathit{si}}+s_{\mathit{ba}}$, dus om $s$ te vinden, hoeven we alleen de afstanden te bepalen die Simon en Barbara hebben afgelegd. Ten eerste kunnen we eenvoudig $s_{\mathit{si}}$ bepalen met de formule $v=\frac{s}{t}$, herschreven als $s=v\cdot t$, waarbij $v$ de snelheid is en $t$ de tijd. Dus $s_{\mathit{si}}=v_{\mathit{si}}\cdot t_{\mathit{si}}=30\mathrm{km}∕h\cdot 1h=30\mathrm{km}$.

We moeten echter nog steeds $s_{\mathit{ba}}$ vinden om $s$ te bepalen. Om dat te doen, drukken we de tijd uit die Simon nodig had om de helft van $s$ af te leggen in termen van $s$. Uit $t=\frac{s}{v}$ kunnen we afleiden dat de tijd om $\frac{s}{2}$ af te leggen voor Simon, rijdend met $30\mathrm{km}∕h$, zal zijn $t=\frac{\frac{s}{2}}{v}=\frac{s}{2\cdot v}=\frac{s}{2\cdot 30\mathrm{km}∕h}=\frac{s}{60\mathrm{km}∕h}$. Hiermee kunnen we ook de tijd uitdrukken waarin Barbara aan het rijden was ($t_{\mathit{ba}}$): dit is $1$ uur min deze tijd. Dus $t_{\mathit{ba}}=1h-\frac{s}{60\mathrm{km}∕h}$. Nu kunnen we de afstand die Barbara heeft afgelegd, $s_{\mathit{ba}}$, uitdrukken als $s_{\mathit{ba}}=v_{\mathit{ba}}\cdot t_{\mathit{ba}}=90\mathrm{km}∕h\cdot (1h-\frac{s}{60\mathrm{km}∕h})=90\mathrm{km}-\frac{90\mathrm{km}∕h\cdot s}{60\mathrm{km}∕h}=90\mathrm{km}-\frac{3}{2}\cdot s$.

Nu we de waarde van $s_{\mathit{si}}$ weten en $s_{\mathit{ba}}$ hebben uitgedrukt in termen van $s$, kunnen we eenvoudig de totale $s$ berekenen als

Dus de afstand tussen Barbara’s huis en Simon’s huis is $48\mathrm{km}$.

Antwoord:

$6$

We moeten het laatste cijfer berekenen van het product

Omdat we alleen geïnteresseerd zijn in het laatste cijfer van het totale product, kunnen we dit probleem benaderen door alleen te kijken naar het product van de laatste cijfers van de producten tussen haakjes.

We kunnen beginnen door enkele initiële producten binnen de haakjes uit te schrijven:

In deze reeks getallen kunnen we opmerken dat het laatste cijfer zich herhaalt in het patroon: $2$, $4$, $8$, $6$. Omdat er een patroon is in het laatste cijfer van de getallen tussen haakjes, zal het laatste cijfer van het totale product voortkomen uit een herhaalde vermenigvuldiging van de cijfers in dit patroon: $2\cdot 4\cdot 8\cdot 6\cdot 2\cdot 4\cdot 8\cdot 6\cdot \dots$.

Als we alleen de laatste cijfers van de tussenstappen van deze vermenigvuldiging opschrijven, krijgen we de volgende reeks cijfers: $8$, $4$, $4$, $8$, $2$, $6$, $6$, $2$, $8$, $4$, $4$, $8$, $2$, $\text{…}$. Hier kunnen we weer opmerken dat er een herhalend patroon is: $8$, $4$, $4$, $8$, $2$, $6$, $6$, $2$, ditmaal met een lengte van $8$. Het laatste cijfer van het totale product zal dus een van de cijfers in dit patroon zijn. Omdat er in totaal $2023$ vermenigvuldigingen zijn tussen de $2024$ haakjes in onze uitdrukking, kunnen we $2023$ delen door $8$, de lengte van het patroon, en de rest zal ons vertellen op welke plaats in het herhalende patroon we eindigen na het vermenigvuldigen van alle getallen.

Aangezien $2023:8=252\text{, rest }7$, is het laatste cijfer van het totale product $6$, omdat dit het $7$de cijfer is in het $8$-cijferige patroon dat we eerder hebben geïdentificeerd.

Antwoord:

$1$

In de loterij van vandaag ontvangt John $30$ keer meer loten. Maar aangezien iedereen $30$ keer meer loten heeft ontvangen, is ook het totale aantal loten $30$ keer zo groot. Dus hoewel John $30$ keer meer loten in de loterij heeft, vormen ze dezelfde fractie van alle loten als gisteren. De kans dat John wint, moet daarom hetzelfde zijn als gisteren. Het is dus $1$ keer zo groot.

Antwoord:

$81$

De straal van de nieuwe draad is een derde van de oorspronkelijke straal en aangezien de oppervlakte van een cirkel evenredig is met het kwadraat van de straal, moet de doorsnede van de nieuwe draad $S^{\prime }={\left(\frac{1}{3}\right)}^{2}S=\frac{1}{9}S$ zijn. Het volume van de draad blijft hetzelfde, dus de verandering van de doorsnede naar een negende veroorzaakt dat de lengte van de draad moet zijn toegenomen tot ${\ell }^{\prime }=9\ell$. De soortelijke weerstand is een eigenschap van het materiaal, dus deze blijft gelijk. Nu kunnen we de weerstand van de nieuwe draad berekenen als

Dus de weerstand van de nieuwe draad is $81$ keer zo groot als die van de oorspronkelijke draad, en de waarde van $k$ is dus $81$.

Antwoord:

$49$

Laten we het nummer van het shirt in het midden aanduiden met $x$. Er zijn $\frac{75-1}{2}=37$ shirts vóór dit shirt en $37$ shirts na dit shirt. De eerste vijf shirts hebben dus de nummers $x-37$, $x-36$, $x-35$, $x-34$ en $x-33$, terwijl de laatste vijf shirts de nummers hebben $x+33$, $x+34$, $x+35$, $x+36$ en $x+37$. De voorwaarde in het probleem vertaalt zich naar de vergelijking

Dus het nummer op het shirt in het midden was $x=49$.

Antwoord:

$\frac{2}{11}$

Laat $m$ de totale massa van de bananen zijn. We weten dat ze $\frac{3}{4}m$ aan water bevatten en $\frac{1}{4}m$ aan droge stof. Dus elke helft van de bananen bevat $\frac{1}{8}m$ aan droge stof. Voor de bananen die in de voedseldroger zijn gedroogd, vormt het droge deel $75\%$ van de bananen, dus deze bananen wegen nu $\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}m=\frac{1}{6}m$ en het water erin heeft een gewicht van $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}m=\frac{1}{24}m$. Op dezelfde manier wegen de bananen uit de vriesdroger $\frac{10}{9}\cdot \frac{1}{8}m=\frac{5}{36}m$ en het water weegt $\frac{1}{10}\cdot \frac{5}{36}m=\frac{1}{72}m$.

In totaal zal de massa van het poeder $\frac{1}{6}m+\frac{5}{36}m=\frac{11}{36}m$ zijn, waarvan $\frac{1}{24}m+\frac{1}{72}m=\frac{1}{18}m$ uit water bestaat. Dus het aandeel van het water in het poeder is

Antwoord:

$1,25$

Bij het springen wint Karel energie. Om tot een hoogte van $h_0=1m$ te springen, moet Karel met een massa van $m=75\mathrm{kg}$ energie $E=\mathit{mg}{h}_0$ opbouwen. Wat verandert er in de bewegende lift? De weegschaal toont een lager gewicht omdat de zwaartekrachtversnelling anders is. Laat de nieuwe zwaartekrachtversnelling $g^{\prime }$ zijn. Hierdoor werkt Karel op de weegschaal met een kracht $F_g=m{g}^{\prime }$. Maar de weegschaal toont een gewicht van $m^{\prime }=60\mathrm{kg}$, omdat de weegschaal "denkt" dat alles gebeurt onder de normale zwaartekrachtversnelling. Het feit dat het gewicht $m^{\prime }$ aangeeft, betekent dat er een kracht $m^{\prime }g$ op werkt. Maar dit is $F_g$, wat betekent:

Laten we nu teruggaan naar het springen. Omdat de zwaartekrachtversnelling is veranderd, zal Karel met energie $E$ springen tot een hoogte $h$. Dit wordt omgezet in potentiële energie $E=m{g}^{\prime }h$. Dit betekent dat Karel tot een hoogte van

kan springen.

Antwoord:

$55$

Laten we de getallen tellen die Peter niet kan gebruiken. De veelvouden van $3$ tussen $1$ en $100$ zijn $3$, $6$, $\text{…}$, $99$, dus er zijn er $99:3=33$. Daarnaast zijn er $19$ getallen die het cijfer $3$ bevatten ($10$ hiervan hebben $3$ als eenheden, $10$ als tientallen, maar het getal $33$ zit in beide groepen). Peter gebruikt geen enkel van de getallen uit deze twee groepen. Maar er zijn enkele getallen die in beide groepen vallen, namelijk de getallen $3$, $30$, $33$, $36$, $39$, $63$, $93$, die slechts één keer moeten worden meegeteld. Daarom gebruikt Peter $33+19-7=45$ getallen niet. Hij gebruikt alle andere getallen, dus hij gebruikt $100-45=55$ getallen.

Antwoord:

$133$

Laat $v$ de snelheid van Tamar zijn. Gedurende de eerste $t_0=1s$ nadat ze de voetganger heeft opgemerkt, rijdt Tamar door met snelheid $v$, dus legt ze een afstand af van $s_1=v{t}_0$. Vervolgens begint ze te remmen met een constante kracht $F$. Deze kracht werkt over de afstand $s_2$, dus verricht deze arbeid $W=F{s}_2$. Deze arbeid werd verricht om de kinetische energie $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ van de auto te verminderen, waarbij $m$ de massa van de auto is. We krijgen dus dat $F{s}_2=\frac{1}{2}m{v}^2$, wat betekent dat de afstand waarop de auto stopt nadat ze begint te remmen is

Uit de opgave weten we dat toen Tamar met een snelheid van $v_1=15m∕s$ reed, haar remweg $s_1+s_2$ gelijk was aan $s=33m$. Hiermee kunnen we de onbekende grootheid $\frac{m}{F}$ uitdrukken als

en deze invoegen in de remweg $s^{\prime }=s_1^{\prime }+s_2^{\prime }$ voor de snelheid $v_2=35m∕s$ om te krijgen

Dit betekent dat de remweg van Tamar bij een snelheid van $v_2=35m∕s$ $s^{\prime }=133m$ zou is.

Antwoord:

$100$

Noem de benodigde oppervlakte $S$, zodat het volume van het dansplatform $V=S\cdot 10\mathrm{cm}$ is. Wanneer het volledig belast is, zal het bovenoppervlak gelijk liggen met het water eromheen, en dus verplaatst het een volume $V$ water. De verplaatste watermassa zal $V\cdot 1000\mathrm{kg}∕m^3$ zijn, en dit moet gelijk zijn aan de massa van het dansplatform plus de $4000\mathrm{kg}$ die erop geplaatst is. Deze massa is $V\cdot 600\mathrm{kg}∕m^3+4000\mathrm{kg}$. Oplossen voor $V$ geeft $V=10m^3$, waardoor de oppervlakte van het dansplatform $S=\frac{V}{0,1m}=100m^2$ moet zijn.

Antwoord:

$12$

Beschouw de hoeken rond het hoekpunt $F$. We weten dat $\mathit{\angle EFC}=24^{\circ }$ en $\mathit{\angle DFE}=60^{\circ }$ omdat de driehoek $\mathit{DEF}$ gelijkzijdig is. Daarom geldt dat $\mathit{\angle AFD}=180^{\circ }-\mathit{\angle EFC}-\mathit{\angle DFE}=180^{\circ }-24^{\circ }-60^{\circ }=96^{\circ }$. In de driehoek $\mathit{ADF}$ kennen we nu twee hoeken, wat geeft dat $\mathit{\angle DAF}=180^{\circ }-\mathit{\angle ADF}-\mathit{\angle DFA}=180^{\circ }-42^{\circ }-96^{\circ }=42^{\circ }$.

We zien dat $\mathit{\angle DAF}=\mathit{\angle ADF}$, wat betekent dat de driehoek $\mathit{ADF}$ gelijkbenig is met $\mathit{AF}=\mathit{DF}$. Lijnstuk $\mathit{DF}$ is een zijde van de gelijkzijdige driehoek $\mathit{DEF}$, wat zegt dat $\mathit{DE}=\mathit{EF}=\mathit{FD}$. Hieruit volgt dat $\mathit{AF}=\mathit{EF}$, dus de driehoek $\mathit{AEF}$ is gelijkbenig met basis $\mathit{AE}$.

We weten al dat $\mathit{\angle AFE}=\mathit{\angle AFD}+\mathit{\angle DFE}=96^{\circ }+60^{\circ }=156^{\circ }$. Daarom, vanwege de gelijkbenige driehoek $\mathit{AEF}$, krijgen we $\mathit{\angle EAC}=\mathit{\angle EAF}=\frac{180^{\circ }-156^{\circ }}{2}=12^{\circ }$.

Antwoord:

$42$

In de hellende delen neemt de energie van de auto toe en in de horizontale delen verliest hij energie. Daarom stopt de auto op een van de horizontale delen, namelijk wanneer zijn energie tot $0$ is gedaald.

Aan het begin is de totale energie van de auto de som van zijn potentiële energie en zijn kinetische energie. Voor de eenvoud nemen we aan dat de potentiële energie van de auto aan het begin $0J$ is. De energie van de auto bestaat dus volledig uit zijn kinetische energie, die $E_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2$ is, waarbij $m=60g$ de massa van de auto is en $v_0=5m∕s$ de beginsnelheid van de auto.

Elke keer dat de auto een hellend deel passeert, neemt zijn energie toe door een verandering in de potentiële energie. Omdat hij daalt met een hoogte $h_0=5\mathrm{cm}$, wint hij energie $E_{p_0}=\mathit{mg}{h}_0$. In de horizontale delen is er een wrijvingskracht $F_t=\mathit{fmg}$, waarbij $f=0,4$ de wrijvingscoëfficiënt is. Deze kracht werkt over een lengte $s=20\mathrm{cm}$, waardoor er arbeid wordt verricht $W=F\cdot s=\mathit{fmgs}$. Hierdoor neemt de energie van de auto af met $W$.

Na elk opeenvolgend horizontaal en verticaal deel daalt de energie van de auto met $E_{p_0}-W=\mathit{mg}{h}_0-\mathit{fmgs}$. Na $n$ van zulke paren van horizontale en verticale delen, is de energie afgenomen met $n(E_{p_0}-W)$ en we zoeken het kleinste $n$ waarvoor $E_0-n(E_{p_0}-W)\le 0$. Het oplossen van deze ongelijkheid geeft

Dus de auto stopt op het $42$e horizontale deel.

Antwoord:

$12153$

Met een beetje geluk merken we op dat $37\cdot 21=777$. Dit maakt het vermenigvuldigen gemakkelijker. We bootsen de gebruikelijke vermenigvuldigingsprocedure na. Normaal gesproken vermenigvuldigen we alleen cijfers van één cijfer. Maar nu weten we dat $37\cdot 21=777$, dus we kunnen deze vermenigvuldiging in elke stap uitvoeren. Op deze manier ziet de vermenigvuldiging er uit zoals in de volgende afbeelding.

De opeenvolgende getallen $777$ hebben telkens één cijfer $7$ gemeen, dus we sommen het op zoals gebruikelijk. Hierdoor verschijnen de cijfers $4$ en $8$ in het resultaat. Uit de procedure blijkt dat we het aantal cijfers met $1$ hebben verhoogd, zodat het resultaat een getal van $2025$ cijfers is. Drie daarvan zijn cijfer $7$ en de overige $2025-3=2022$ wisselen af tussen $4$ en $8$, dus er zijn $2022:2=1011$ van elk van hen. In totaal is de som van alle cijfers van het resultaat $3\cdot 7+1011\cdot 4+1011\cdot 8=12153$.

Antwoord:

$2,4$

De capaciteit van een batterij in $\mathrm{mAh}$ beschrijft een verband tussen de geleverde stroomsterkte van de batterij en de tijd gedurende welke de batterij die stroom kan leveren. Als een batterij met een capaciteit van $4000\mathrm{mAh}$ volledig is opgeladen, kan deze bijvoorbeeld een elektrische stroomsterkte van $4000\mathrm{mA}$ gedurende één uur leveren, of een stroomsterkte van $1000\mathrm{mA}$ gedurende vier uur, of iets dergelijks.

Aangezien Miko kan wisselen welk apparaat wordt opgeladen, kunnen we de laptop en de smartphone als één apparaat beschouwen met een capaciteit van $4000\mathrm{mAh}+3500\mathrm{mAh}=7500\mathrm{mAh}$. Aan het begin hadden beide apparaten samen een lading van $20\%$ van hun capaciteit, dus samen hadden ze $0,2\cdot 7500\mathrm{mAh}=1500\mathrm{mAh}$. Beide apparaten lopen leeg op een manier waardoor ze na $10$ uur leeg zijn, wat betekent dat ze per uur $7500\mathrm{mAh}:10=750\mathrm{mAh}$ verbruiken.

Ondertussen laadt Miko de apparaten op met een oplader die een stroomsterkte heeft van $3,25A=3250\mathrm{mA}$. Dus na één uur laadt hij $3250\mathrm{mAh}$ bij. Dit betekent dat de lading van de batterijen elk uur toeneemt met $3250\mathrm{mAh}-750\mathrm{mAh}=2500\mathrm{mAh}$. Miko moet de lading met $7500\mathrm{mAh}-1500\mathrm{mAh}=6000\mathrm{mAh}$ verhogen, dus zullen de apparaten volledig opgeladen zijn in

Antwoord:

$18$

De enige reden waarom Louise wat arbeid moet verrichten, is dat ze de potentiële energie van het water in de emmer verhoogt. De emmer is een cilinder met een bodemoppervlakte $S=400{\mathrm{cm}}^2=0,04m^2$ en een hoogte $h=30\mathrm{cm}=0,3m$, dus de massa van het water in de emmer is $m={\rho }_{\mathit{water}}\mathit{Sh}$. Het zwaartepunt van het water in de emmer bevindt zich halverwege de hoogte van de emmer, namelijk op $\frac{h}{2}$. De toename van de potentiële energie van het water, en dus de arbeid die Louise moet verrichten, is:

Antwoord:

$53$

We gaan de driehoeksongelijkheid meerdere keren gebruiken. In de driehoek $\mathit{ABC}$ vertelt deze ons dat de lengte van zijde $\mathit{AC}$ groter is dan $19\mathrm{cm}-12\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}$, maar kleiner dan $19\mathrm{cm}+12\mathrm{cm}=31\mathrm{cm}$. De lengte moet een geheel getal zijn, dus de lengte van $\mathit{AC}$ kan elk geheel getal tussen $8\mathrm{cm}$ en $30\mathrm{cm}$ zijn. Om dezelfde reden (toegepast in de driehoeken $\mathit{CDE}$ en $\mathit{EFA}$) krijgen we dat de lengte van $\mathit{CE}$ een geheel getal is tussen $13\mathrm{cm}$ en $15\mathrm{cm}$ en de lengte van $\mathit{EA}$ een geheel getal tussen $6\mathrm{cm}$ en $12\mathrm{cm}$.

Om de maximale omtrek van de driehoek $\mathit{ACE}$ te krijgen, moeten we de grootst mogelijke lengtes van zijn zijden kiezen. Maar de driehoeksongelijkheid moet geldig blijven. Dus, zelfs als we de grootste mogelijke lengtes van $\mathit{CE}$ en $\mathit{EA}$ kiezen, kunnen we de lengte $\mathit{AC}$ slechts kiezen tot minder dan $15\mathrm{cm}+12\mathrm{cm}=27\mathrm{cm}$. De grootste mogelijke omtrek van de driehoek wordt dus bereikt wanneer $\mathit{AC}=26\mathrm{cm}$, $\mathit{CE}=15\mathrm{cm}$ en $\mathit{EA}=12\mathrm{cm}$, waarbij de omtrek $26\mathrm{cm}+15\mathrm{cm}+12\mathrm{cm}=53\mathrm{cm}$ is.

Antwoord:

$1012$

Het product van twee kwadraten is ook weer een kwadraat – als we $a^2$ vermenigvuldigen met $b^2$, krijgen we ${(\mathit{ab})}^2$. We zullen proberen dit te gebruiken om het probleem te vereenvoudigen.

Kijk naar het product $1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\cdot \dots \cdot 2023!\cdot 2024!$. Als we de opeenvolgende termen groeperen als $(1!\cdot 2!)\cdot (3!\cdot 4!)\cdot \dots \cdot (2023!\cdot 2024!)$ en elke faculteit van een even getal schrijven als $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$, kunnen we het product vereenvoudigen tot de vorm

De factor ${(1!)}^2\cdot {(3!)}^2\cdot {(5!)}^2\cdot \dots \cdot {(2023!)}^2$ is een product van kwadraten, dus dit is ook een kwadraat. Om het hele product een kwadraat te maken, moet de factor $2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot 2024$ een kwadraat zijn. Het is een product van even getallen, dus we kunnen het vereenvoudigen door het getal twee uit elke factor te halen. Op deze manier krijgen we

Dit getal $2^{1012}$ is een kwadraat (de exponent is even), dus de enige belemmering voor het hele product om een kwadraat te zijn is de factor $1012!$. In de opgave mogen we één factor weglaten en dit betekent dat we de factor $1012!$ moeten verwijderen. Aangezien de opgave aangeeft dat deze factor uniek is, kunnen we zeggen dat we zoeken naar het getal $k=1012$.

Antwoord:

$24$

De situatie rondom elke katrol ziet eruit zoals in de figuur.

De krachten in het touw zijn overal gelijk aan $F$ omdat de spanning in het touw overal gelijk is (natuurlijk kan de spanning verschillen voor verschillende touwen). Om ervoor te zorgen dat de katrol in rust blijft, moet er ook een kracht met grootte $2F$ in de opwaartse richting zijn.

Hoewel het lijkt alsof we te maken hebben met de complexiteit van een oneindig katrollensysteem, zien we dat dit ons niet belemmert. Omdat de katrollen en touwen massaloos zijn, kunnen we de som van alle gewichten bepalen door te kijken naar de kracht waarmee het oneindige katrollensysteem op het plafond werkt. Dit geeft ons de som van de zwaartekrachten die op alle gewichten werken, wat ons vervolgens hun totale gewicht vertelt.

We gebruiken de observatie aan het begin om de kracht te bepalen die op het plafond werkt.

Begin met het bekijken van de derde katrol. We weten dat er een gewicht met massa $3\mathrm{kg}$ aan hangt, waarop een zwaartekracht met grootte $3\mathrm{kg}\cdot 10N∕\mathrm{kg}=30N$ werkt. Dus de spanning in het bijbehorende touw is ook $30N$, wat betekent dat er een kracht met grootte $2\cdot 30N=60N$ op de derde katrol moet werken in de opwaartse richting.

Nu kunnen we naar de tweede katrol kijken. De kracht van $60N$ uit de vorige alinea zorgt voor een spanning van dezelfde grootte in het touw rond de tweede katrol, wat betekent dat er een kracht van $2\cdot 60N=120N$ op de tweede katrol in de opwaartse richting moet werken. Door hetzelfde argument toe te passen op de eerste katrol, moet er een kracht van $2\cdot 120N=240N$ op de eerste katrol in de opwaartse richting werken. Dit is echter ook de grootte van de kracht waarmee het gehele katrollensysteem op het plafond werkt, wat we wilden vinden.

Dus het hele katrollensysteem werkt op het plafond met een kracht van $240N$, waardoor de massa van alle gewichten $240N:10N∕\mathrm{kg}=24\mathrm{kg}$ moet zijn.

Antwoord:

$216$

Laten we eerst kijken naar de verschillen die Milan berekent. Een getal van drie cijfers kan geschreven worden als $100A+10B+C$, waarbij $A$, $B$ en $C$ de cijfers zijn. Na het omdraaien van de cijfers krijgt Milan het getal $100C+10B+A$, dus het verschil wordt

We zien dat het verschil alleen afhangt van het verschil tussen het honderdtal en de eenheid van het oorspronkelijke getal. In dit probleem werkt Milan met een getal en dan met datzelfde getal verminderd met $31$. Hij krijgt hetzelfde resultaat, dus deze twee getallen moeten hetzelfde verschil hebben tussen het honderdtal en de eenheid. Nu moeten we de getallen met deze eigenschap berekenen.

Er zijn twee mogelijke gevallen, gebaseerd op de eenheid van Anna’s favoriete getal. Als de eenheid $0$ is, verandert het aftrekken van $31$ dit naar $9$. Daarom moet het honderdtal ook met $9$ toenemen, wat duidelijk onmogelijk is. Dit betekent dat Anna’s favoriete getal geen $0$ als eenheid heeft. Na aftrekking van $31$ vermindert de eenheid dus met $1$, en het honderdtal moet ook met $1$ verminderen. Dit gebeurt alleen als het 2-cijferige getal gevormd door de laatste twee cijfers van Anna’s favoriete getal één van $00$, $01$, $\text{…}$, $30$ is.

Uit deze lijst verwijderen we de gevallen met $0$ als eenheid, wat $27$ mogelijkheden overlaat. Het enige wat we nu nog hoeven te doen, is de mogelijkheden voor het honderdtal bepalen. Dit kan geen $1$ zijn, omdat we na het aftrekken van $31$ geen 3-cijferig getal zouden krijgen. Maar de cijfers $2$, $3$, $\text{…}$, $9$ zijn wel mogelijk.

Door het honderdtal te combineren met de mogelijkheden voor de andere twee cijfers krijgen we $8\cdot 27=216$ mogelijkheden voor Anna’s favoriete getal.

Antwoord:

$443256101330$

Elke verandering van cijfer $5$ naar cijfer $6$ verhoogt de som van de cijfers met $1$ en elke verandering van $6$ naar $5$ verlaagt de som van de cijfers met $1$. Dit betekent dat elke verandering van $5$ naar $6$ een verandering van $6$ naar $5$ opheft. We hoeven dus alleen naar het verschil te kijken in het aantal keren dat de cijfers $5$ en $6$ voorkomen in de getallen tussen $1$ en $9876543210$.

Laten we ons richten op de cijfers $5$ en $6$ in de positie waarin deze cijfers voorkomen in het getal $9876543210$. Als we een cijfer $5$ in een hogere of lagere positie hebben, kunnen we dit cijfer $5$ verwisselen met cijfer $6$ (en omgekeerd), zodat we een getal krijgen dat door Joost is meegeteld. Er is bij zulke getallen dus geen verschil tussen het aantal keren dat de cijfers $5$ en $6$ voorkomen.

Nu focussen we ons alleen op de cijfers $5$ en $6$ in de miljoenen en honderdduizenden posities. Ook maakt het enige verschil wanneer deze twee cijfers worden voorafgegaan door de $987$ combinatie (anders zou de logica van de vorige alinea van toepassing zijn). Onder deze voorwaarde komt het cijfer $5$ $1000000$ keer voor als miljoenen-cijfer en $6\cdot 100000+43211=643211$ keer als honderdduizenden-cijfer. Op dezelfde manier komt het cijfer $6$ $543211$ keer voor als miljoenen-cijfer en $6\cdot 100000=600000$ keer als honderdduizenden-cijfer. Het aantal keren dat cijfer $5$ voorkomt, is dus $(1000000+643211)-(543211+600000)=500000$ groter dan het aantal keren dat het cijfer $6$ voorkomt.

De vervanging van het cijfer $5$ door cijfer $6$ verhoogt de som van de cijfers dus met $500000$, waardoor Joost het resultaat krijgt

Antwoord:

$2,4$

Laat $V$ het volume van Ferdinand zijn, $h=0,6m$ zijn hoogte en ${\rho }_{\mathit{Ferdinand}}=125\mathrm{kg}∕m^3$ zijn dichtheid. Na de sprong wordt het oorspronkelijke volume van Ferdinand gevuld met water. Hierdoor verliest het meer energie $E=V{\rho }_{\mathit{water}}g\frac{h}{2}$, aangezien de massa van dit water $V{\rho }_{\mathit{water}}$ is en het zwaartepunt zich op een diepte van $\frac{h}{2}$ bevindt (het meer is groot genoeg zodat het wateroppervlak hetzelfde blijft). We moeten de hoogte $H$ bepalen die Ferdinand zal bereiken. Op het hoogste punt heeft hij geen kinetische energie meer, dus de energie die hij van het water kreeg, wordt omgezet in potentiële energie $E=V{\rho }_{\mathit{Ferdinand}}\mathit{gH}$. Door de twee uitdrukkingen voor $E$ te vergelijken vinden we

We zien dat de bovenste basis van Ferdinand de hoogte van $2,4m$ zal bereiken.

Antwoord:

$46$

Elke regelmatige $m$-hoek kan worden verdeeld in $m$ congruente gelijkbenige driehoeken zoals te zien in de figuur.

De hoeken tegenover de basis moeten samen $360^{\circ }$ vormen. Alle andere hoeken dragen bij aan de hoekensom van de $m$-hoek. Omdat de som van de hoeken in elke driehoek $180^{\circ }$ is, betekent dit dat de som van de hoeken in de $m$-hoek gelijk is aan $m\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }=(m-2)\cdot 180^{\circ }$. Elke hoek in een regelmatige $m$-hoek heeft dezelfde grootte, dus de grootte van elke hoek is $\frac{m-2}{m}\cdot 180^{\circ }$.

Als we de veelhoeken zo willen rangschikken zoals gevraagd in de opgave, moet de som van de hoeken bij het gemeenschappelijke hoekpunt $360^{\circ }$ zijn. Dus, als we $x$, $y$ en $z$ het aantal zijden van de regelmatige veelhoeken noemen en de informatie uit de vorige paragraaf gebruiken, dan moet gelden:

We kunnen de hele vergelijking door $180^{\circ }$ delen en vereenvoudigen om te krijgen:

Laten we proberen alle drietallen $(x,y,z)$ te vinden die aan deze vergelijking voldoen. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we aannemen dat $x>y>z$. Als $z\ge 6$, dan is $y\ge 7$ en $x\ge 8$. Maar dan