Zadání a řešení úloh

Výsledek:

$10$

Locika potřebuje, aby její vlasy vyrostly o $200\mathrm{cm}-20\mathrm{cm}=180\mathrm{cm}$. To bude trvat $180\mathrm{cm}:1,5 \text{cm/měsíc}=120 \text{měsíců}=10 \text{let}$. Locika musí počkat $10$ let, než jí vlasy dorostou.

Výsledek:

$12$

Před Petrem dokončili závod $3$ cyklisté, $6$ cyklistů dorazilo do cíle mezi Petrem a Pavlem a $1$ cyklista dojel až po Pavlovi. To dohromady dává $6+3+1=10$ cyklistů, pokud nepočítáme Petra s Pavlem. Jestliže odpovídáme na celkový počet cyklistů, musíme započítat i Petra a Pavla, což nám dává výsledek $10+2=12$ cyklistů.

Výsledek:

$126$

Každým kilometrem ztratí běžec $3000J$ energie. Na trase dlouhé $42\mathrm{km}$ spotřebuje

energie. Každá snězená tyčinka dodá běžci $1000J$ energie. Aby vykompenzoval vydanou energii, musí sníst $\frac{126000J}{1000J}=126$ energetických tyčinek.

Výsledek:

$7$

Číslo $35$ může být rozloženo na násobek dvou celých čísel čtyřmi způsoby (když bereme v potaz i pořadí činitelů):

První číslo udává počet dílků čokolády, který Matěj dá každému svému kamarádovi. Každý kamarád musí dostat alespoň $2$ dílky, proto musíme vyřadit $1\cdot 35$. Ze získaných tří zbylých možností je největší počet kamarádů $7$.

Výsledek:

$15$

Informace o maximální povolené rychlosti není pro řešení úlohy vůbec relevantní. Potřebujeme pouze vědět, že Tadeáš ujede vzdálenost $s=10\mathrm{km}$ a že jeho průměrná rychlost je $v=40\mathrm{km}∕h$. Průměrná rychlost je rovna celkové vzdálenosti dělené celkovým časem. Pokud označíme průměrnou rychost jako $v$ a celkovou vzdálenost jako $s$, můžeme dopočítat čas následujícím způsobem.

Po převedení času na minuty zjistíme, že Tadeášovi trvala cesta $15$ minut.

Výsledek:

$8$

Jediné krychle, které mají obarvené právě $3$ strany jsou ty, které byly na vrcholech (v rozích) původního velkého kvádru. Ostatní krychle mají obarvené buď $2$ strany (to jsou ty, které byly na hranách velkého kvádru), $1$ stranu (pokud nebyly součástí hrany ale byly na vnějších stěnách kvádru), nebo $0$ stran (pokud nebyly vůbec na povrchu kvádru). Proto stačí spočítat počet vrcholů kvádru, kterých je $8$. Z kvádru tedy vzniklo $8$ kostek se třemi stranami natřenými špatným odstínem oranžové.

Výsledek:

$6$

Výkon mikrovlnky je konstantní. To znamená, že energie, kterou je jídlo ohříváno je přímo úměrná času ohřívání. Hmotnost ani tepelná kapacita jídla se během ohřevu nemění. Zvýšení teploty je tedy úměrné pouze době ohřevu.

Při druhém ohřevu se jídlo ohřeje o $40{}^{\circ }C-26{}^{\circ }C=14{}^{\circ }C$. Tento ohřev ale trval pouze $70\%$ času toho předchozího. Při prvním ohřívání se tedy teplota jídla musela zvednout o

Původní teplota Markétina jídla byla $26{}^{\circ }C-20{}^{\circ }C=6{}^{\circ }C$.

Výsledek:

$12$

Na konci prvního dne zná zákon právě $1$ osoba. V každém dalším dni se počet osob, které znají zákon, zdvojnásobí. Víme tedy, že šíření informace bude probíhat následujícím způsobem:

• v poledne druhého dne znají zákon $2\cdot 1=2$ osoby;
• v poledne třetího dne znají zákon $2\cdot 2=4$ osoby;
• v poledne čtvrtého dne zná zákon $2\cdot 4=8$ osob;
• v poledne pátého dne zná zákon $2\cdot 8=16$ osob;
• v poledne šestého dne zná zákon $2\cdot 16=32$ osob;
• v poledne sedmého dne zná zákon $2\cdot 32=64$ osob;
• v poledne osmého dne zná zákon $2\cdot 64=128$ osob;
• v poledne devátého dne zná zákon $2\cdot 128=256$ osob;
• v poledne desátého dne zná zákon $2\cdot 256=512$ osob;
• v poledne jedenáctého dne zná zákon $2\cdot 512=1024$ osob;
• v poledne dvanáctého dne zná zákon $2\cdot 1024=2048$ osob.

Jelikož $2048\ge 2025$, šíření nového zákona skončí na konci dvanáctého dne.

Výsledek:

$5$

Pro získání celkové účinnosti převodu energie musíme mezi sebou vynásobit jednotlivé účinnosti, které při procesu probíhají. Výsledek nejjednodušeji získáme převedením účinností z procent na zlomek:

Celkový výsledek pak získáme po vynásobení a zkrácení zlomku:

Vzhledem k tomu, že naše odpověď má být ve formě procent, musíme zlomek rozšířit na zlomek se jmenovatelem $100$. Získaný výsledek tedy vynásobíme zlomkem $\frac{5}{5}$ a dostaneme výsledek $\frac{1}{20}\cdot \frac{5}{5}=\frac{5}{100}$. Efektivita převodu energie je $5\%$.

Výsledek:

$512$

Pokaždé, když se král pohne, tak má $8$ možných políček, na která se může přesunout dál. Pro cestu složenou přesně ze tří tahů jsou volby nezávislé, takže celkový počet takových cest je $8\cdot 8\cdot 8=512$.

Výsledek:

$100$

Sofie uběhla $s_S=600m$ za $t=2$ minuty, takže její průměrná rychlost je $v_S=\frac{s_S}{t}=\frac{600m}{2\mathrm{minute}}=5m∕s$. Uběhnout celou délku běžecké dráhy $s=1000m$ jí bude trvat $t_S=\frac{s}{v_S}=\frac{1000m}{5m∕s}=200s$.

Podobně uběhne Honza vzdálenost $s_H=400m$ za $t=2$ minuty, což znamená, že jeho průměrná rychlost je $v_H=\frac{s_H}{t}=\frac{400m}{2\mathrm{minute}}=\frac{10}{3}m∕s$. Na uběhnutí celé dráhy, která měří $s=1000m$ potřebuje Honza $t_H=\frac{s}{v_H}=\frac{1000m}{\frac{10}{3}m∕s}=300s$. Z výpočtu vidíme, že Sofie proběhne celou trasu o $t_H-t_S=300s-200s=100s$ rychleji než Honza.

Výsledek:

$7$

Chceme, aby povrch tělesa byl co největší za použití co nejmenšího množství kostiček. Proto potřebujeme, aby každá krychle byla spojena s celým tělesem co nejmenším počtem stran. Z tohoto důvodu slepíme krychle do jedné dlouhé řady (vytvoříme tak kvádr). Dvě krychle na koncích této řady budou mít $5$ odkrytých stran a všechny krychle mezi nimi budou mít $4$ odkryté strany. Jelikož strany kostiček mají plochu $1{\mathrm{cm}}^2$ a chceme, aby celkový povrch byl $30{\mathrm{cm}}^2$, dostaneme rovnici $5{\mathrm{cm}}^2+x\cdot 4{\mathrm{cm}}^2+5{\mathrm{cm}}^2=30{\mathrm{cm}}^2$, kde $x$ je počet kostek mezi mezi dvěma koncovými kostkami. Po úpravě dostaneme

Jednoduše dopočítáme výsledek $x=5$. Kromě těchto pěti kostek máme ještě $2$ koncové, proto nejmenší možný počet kostek je $2+5=7$ kostek.

Výsledek:

$45$

V rámci řešení úlohy potřebujeme najít nejmenší možnou druhou mocninu (číslo které získáme vynásobení dvou stejných celých čísel), která může být napsána jako součet celkem $1929$ čísel – jedniček a devítek. Správná odpověď pak bude odmocninou tohoto součtu. Představme si, že mezi vojáčky není žádný generál. V tomto případě obsadí $1929$ čtverečků. Vzhledem k tomu, že odmocněním tohoto čísla nezískáme celé číslo, tak musíme nahradit nějaké vojáčky většími generály. Tímto způsobem zvýšíme číslo obsazených políček o $9-1=8$. Můžeme tedy takto všechny možné způsoby obsazení pole vojáčky napsat ve formě $1929+8k$, kde $k$ je nějaké nezáporné celé číslo. Hledáme nejmenší mocninu celého čísla, která je větší než $1929$ a může být zapsána výše zmíněným způsobem. První následující mocnina je $44\cdot 44=1936$. Toto číslo je ale sudé, proto určitě nemůže být zapsáno jako $1929+8k$. Následující celá mocnina je $45\cdot 45=2025$, která může být zapsána v potřebném tvaru ($1929+8k=2025$ pokud $k=12$). Tímto způsobem tedy jasně můžeme vojáčky poskládat na čtverečkovaný papír, a to za použití $(2025-1929):8=12$ generálů, kteří zabírají větší plochu. Pozice generálů na čtverečkovaném papíře neovlivní potřebný počet políček. Odmocněním počtu zabraných políček zjistíme, že minimální počet řad na Matyldině čtverečkovaném papíře je $\sqrt{2025}=45$.

Výsledek:

$1000$

Objem bazénu je $V=15m\cdot 6m\cdot 2m=180m^3$. Nejrychleji k výsledku dojdeme, když si vypočteme, jaký objem vody donese každý z přátel do bazénu za určitou jednotku času, v našem případě $1$ hodinu.

• Ella napustí svůj hrníček $\frac{3600s}{30s}=120$ krát za hodinu. Každou hodinu tedy do bazénu donese $120\cdot 250\mathrm{ml}=30000\mathrm{ml}=30l$ vody.
• Josef napustí svou PET láhev $\frac{60\min }{1\min }=60$ krát za hodinu. Takto každou hodinu zvětší objem vody v bazénu o $60\cdot 0,5l=30l$.
• Markéta v potoce nabere vodu $\frac{60\min }{5\min }=12$ krát za hodinu. Tímto způsobem je schopna přinést do bazénu $12\cdot 10{\mathrm{dm}}^3=120l$ za hodinu.

Celkově napustí skupina kamarádů do bazénu každou hodinu $30l+30l+120l=180l=0,18m^3$ vody. To znamená, že jejich rychlost napouštění vody do bazénu je $v=0,18m^3∕h$. Celkově by jim tedy napouštění vody do bazénu trvalo $t=\frac{V}{v}=\frac{180m^3}{0,18m^3∕h}=1000h$.

Výsledek:

$27$

U východu z parku musí Anežka mít lichý počet květin (aby jí nezmizely). Vzhledem k tomu, že sudé + liché číslo = liché číslo, tak Anežka potřebuje na začátku sebrat liché číslo květin a následně může projít jakýkoliv počet sudých políček. Hledáme tedy sekvenci, která začne lichým číslem a následně pokračuje přes sudá políčka až do východu. Vzhledem k tomu, že nevíme, na jakém lichém políčku naše sekvence začne, je pro nás nejvýhodnější začít u východu a postupovat po sudých políčcích zpět ke vstupu do parku. Cestou si šedými čísly budeme značit, kolik květin tímto způsobem bude moct Anežka posbírat.

Nyní hledáme takový lichý záhon, který sousedí s jedním z označených záhonů, u kterého platí, že pokud sečteme šedé číslo na označeném záhoně a číslo na lichém záhoně, dostaneme maximální možný součet. Pokud zkontrolujeme všechny záhony (naše možnosti jsou záhony s čísly $1$, $3$ a $7$), zjistíme, že maximální součet je $27$. Pak už zbývá jen zkontrolovat, zda můžeme opravdu začít u vchodu a poté sesbírat květiny z požadovaných záhonů s lichým číslem tak, abychom před jejich sbíráním měli sudý počet květin (aby nám neunikly květiny ze záhonu s lichým číslem). Jedna z možných tras je znázorněna na obrázku.

Tímto způsobem si může Anežka odnést maximálně $27$ květin

Výsledek:

$8$

Jako první musíme spočítat plochu šedé části, která je složená ze dvou trojúhelníků. Na spočtení plochy trojůhelníku potřebujeme znát délku jedné ze stran a také její výšku, které mezi sebou vynásobíme a následně ještě vydělíme dvěma. Pro náš případ je nejjednodušší jako podstavu počítat stranu ležící na úsečce $\mathit{PR}$. Jednoduše také můžeme zjistit výšku na tuto stranu a to díky tomu, že úsečka, na které strany leží spojuje $2$ středy úseček. Výška, kterou hledáme, je tedy $12\mathrm{dm}:2=6\mathrm{dm}$.

Součet plochy dvou trojúhelníků se stejnou výškou je stejný jako součet jejich základen vynásobených výskou jednoho z nich a následně vydělený $2$. Součet základen je jednoduchý na vypočtení – je to délka úsečky $\mathit{PR}$, která má stejnou délku jako strana čtverce ($12\mathrm{dm}$). Společná výška je $6\mathrm{dm}$, takže součet obarvené plochy trojúhelníků je $\frac{12\mathrm{dm}\cdot 6\mathrm{dm}}{2}=36{\mathrm{dm}}^2$.

Anička potřebuje koupit tubu barvy na každých $5{\mathrm{dm}}^2$, což znamená, že potřebuje alespoň $\frac{36{\mathrm{dm}}^2}{5{\mathrm{dm}}^2}=7,2$ tub barvy. Vzhledem k tomu, že nemůže koupit neceločíselný počet tub barvy, musela Anička koupit $8$ tub barvy na obarvení svého nového loga.

Výsledek:

$60$

V řešení budeme vzdálenost ze školy k Jonášovi domů označovat jako $d$, rychlost maminky v autě jako $v_m$ a Jonášovu rychlost jako $v_J$. Jako první najděme čas $t_1$, který by Jonáš potřeboval, aby se dostal domů, pokud by neběžel naproti své mamince. V tomto případě by maminka musela ujet vzdálenost $2d$, a to kvůli cestě do školy a zpět, což by jí trvalo $t_1=\frac{2d}{v_m}$. Dosazením získáme

Nyní pojďme zjistit čas $t_2$, který Jonáš strávil na cestě domů, pokud běžel naproti své mamince. Tento čas můžeme najít jako $t_2=t_{2A}+t_{2B}$, kde $t_{2A}$ je čas, který Jonáš stráví na cestě, dokud se nepotká s maminkou a $t_{2B}$ je čas od momentu, kdy se setkají, do té doby, než se dostanou domů. Relativní rychlost maminky a Jonáše je $v_m+v_J$. Proto pokud chceme vědět, kdy se potkají, můžeme si představit situaci jakože jeden z nich potřebuje ujet/uběhnout vzdálenost $d$ rychlostí $v_m+v_J$. Z této informace zjistíme čas $t_{2A}$ jako:

Čas $t_{2A}$ je ten, který potřebuje maminka na to, aby se dostala na místo setkání. Vzhledem k tomu, že se ale její rychlost v průběhu nemění, tak můžeme počítat že jí bude trvat stejně dlouho se dostat z tohoto místa i domů. Čas $t_2$ tedy vyjádříme jako:

Rozdíl od prvního scénáře je $t_1-t_2=6\min -5\min =1\min$, což je $60s$.

Výsledek:

$71,8$

Pokoj s Vaškem je perfektně uzavřený, objem vzduchu se tedy určitě nebude měnit. Musíme tedy použít tepelnou kapacitu s konstantním objemem $c_V$. Vzduch o hmotnosti $m=6\mathrm{kg}$ se oteplí z $t_0=20{}^{\circ }C$ na $t_1=22{}^{\circ }C$. To tedy znamená, že vzduch přijme z okolí teplo $Q=c_V\cdot m\cdot (t_1-t_0)$. Vzhledem k tomu, že se teplota Vaškova těla nezměnila, bude platit vztah $W=Q$. Celý proces výměny tepla probíhal $\tau =120s$. Nakonec můžeme průměrný tepelný výkon Vaškova těla vypočítat jako:

Výsledek:

$1978$

Je jasné, že jediné kladné číslo, které můžeme napsat do cihly nejvíce vlevo ve spodní řadě, je číslo $3-2=1$. Nyní označme číslo uprostřed spodní řady $x$. Pravidlo součtové pyramidy nyní vyžaduje, aby pro ostatní čísla platily vztahy na následujícím obrázku:

Nyní potřebujeme najít všechny hodnoty $x$, pro které je každý z prvků pyramidy různé kladné celé číslo. Čísla $1$, $2$ a $3$ jsou již použita, proto $x\ge 4$. Hned si dokážeme, že jiná hodnota než $x=4$ nesplňuje všechny požadavky. Předpokládejme, že $x\ge 5$. V takovém případě $15-2x\le 5$. Kdybychom použili $x=5$, číslo $15-2x$ by také bylo rovno $5$ – dochází ke sporu. Kdyby bylo $x>5$, číslo $15-2x$ by bylo nejvýše $3$ – aby bylo kladné, muselo by mít jednu z hodnot $1$, $2$, nebo $3$, které jsou již použity – opět dochází ke sporu.

Ukázali jsme, že $x=4$. Nyní jednoduše dopočítáme celou pyramidu a můžeme se ujistit, že se od sebe všechny prvky pyramidy skutečně liší:

Nakonec už jen spočítáme součet spodní řady: $1+2+4+7+1964=1978$.

Výsledek:

$10$

Vzorec pro výpočet hydrostatického tlaku je $p={\rho }_{\mathit{kapalina}}\mathit{gh}$. Jak ${\rho }_{\mathit{kapalina}}$, tak $g$ byly v obou případech stejné, jejich součin tedy můžeme označit za konstantu $k={\rho }_{\mathit{kapalina}}g$. Pokud tedy označíme Aniččin válec indexy $A$ and Maruščin válec indexy $M$, získáváme rovnice:

kde $h_A$ a $h_M$ jsou výšky kapaliny ve válcích. Jelikož je konstanta $k$ stejná v obou rovnicích, můžeme tyto dvě rovnice přepsat do jedné:

Nyní můžeme výšky $h_A$ a $h_M$ vyjádřit pomocí objemu tekutiny $V$ a poloměrů $r_A$ a $r_M$ podstav válců:

Dosadíme-li toto do rovnice, získáme:

Odsud už jen vyjádříme $r_M$ a dostaneme tak výsledek:

Podstava Maruščina válce má poloměr $10\mathrm{cm}$.

Výsledek:

$38$

Kniha se skládá z $25$ pohádek se sudým počtem stran a $25$ pohádek s lichým počtem stran. Každá pohádka se sudým počtem stran nemění paritu počáteční strany následující pohádky, což znamená, že pokud začíná na sudé straně, další pohádka také začíná na sudé straně. Abychom maximalizovali počet pohádek začínajících na lichých stranách, chceme, aby každá pohádka se sudým počtem stran začínala na liché straně. Potom všech $25$ pohádek se sudým počtem stran začne na lichých stranách.

Situace je odlišná u pohádek s lichým počtem stran. Každá z nich mění paritu počáteční strany následující pohádky. Abychom maximalizovali počet pohádek začínajících na lichých stranách, můžeme začít první pohádku s lichým počtem stran na liché straně, po čemž se počáteční strana každé následující pohádky s lichým počtem stran střídá mezi lichou a sudou. Proto mezi 25 pohádkami s lichým počtem stran začne 13 na lichých stranách a 12 na sudých stranách.

Proto maximálně $25+13=38$ pohádek může začínat na liché straně.

Výsledek:

$30$

Na začátku je celková energie snowboardisty rovna jeho potenciální energii. Ta je rovna $E_p=\mathit{mgr}$, kde $m=80\mathrm{kg}$ je jeho hmotnost a $r=4,5m$ je poloměr čtvrtkruhových částí (zároveň i výška nad zemí, ze které začíná).

Snowboardista neztrácí energii na čtvrtkruhových částech. Energii ztrácí pouze na vodorovných částech kvůli tření. Koeficient tření je $f=0,05$, takže velikost třecí síly je $F_f=\mathit{mgf}$. Tato síla působí po celé délce vodorovné části o délce $s=3m$. Síla vykoná práci $W=\mathit{Fs}=\mathit{mgfs}$ na snowboardu.Případně snowboardista musí vykonat tuto práci, aby překonal tření. Proto se jeho energie při každém průjezdu vodorovnou částí sníží o $W$.

Po $n$ průjezdech se energie snowboardisty sníží o $\mathit{nW}$. Hledáme nejmenší číslo $n$, pro které rozdíl $E_p-\mathit{nW}$ klesne pod $0$ – protože to určuje průjezd, během kterého se snowboardista zastaví. Získáme tak rovnici:

Snowboardista se tedy zastaví po $30$. průjezdu vodorovnou částí.

Výsledek:

$2$

Celkový počet symbolů za hru byl $27+25+24=76$. V každé hře se vždy ukáží dva symboly, takže se hrálo $76:2=38$ her. V $19$ z nich byla remíza, v ostatních $38-19=19$ vždy jeden ze symbolů vyhrál. Z těchto her kámen vyhrál desetkrát a prohrál sedmkrát. Ve zbylých $19-10-7=2$ hrách se vyskytovaly pouze symboly papíru a nůžek. Jelikož nůžky vždy vyhrají nad papírem, vyhrály přesně pouze v těchto hrách, tedy dvakrát. Pozn.: Můžeme si ověřit, že je opravdu možné, aby tato situace nastala. Z předchozích znalostí o výhrách můžeme odvodit, že remíza kamenů byla pětkrát, remíza nůžek sedmkrát a remíza papírů osmkrát.

Výsledek:

$65$

Nejprve se podívejme na síly v severním a jižním směru. Truhla je tažena na sever silou $75N$ a na jih silou $100N$. Výslednice těchto dvou sil bude mít velikost $100N-75N=25N$ směrem na jih. Podobně se podíváme i na síly ve východním a západním směru. Truhla je tažena na východ silou $120N$ a na západ silou $60N$. Výslednicí bude síla o velikosti $120N-60N=60N$ působící směrem na východ. Výslednice veškerých sil bude přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami velikosti $25N$ a $60N$. Pythagorovou větou můžeme sílu dopočítat jako

Výsledná síla působící na truhlu bude mít velikost $65N$.

Výsledek:

$\frac{1}{14}$

Odpory rezistorů si označme jako $R_1=6\mathrm{\Omega }$, $R_2=12\mathrm{\Omega }$, $R_3=30\mathrm{\Omega }$ a $R_4=36\mathrm{\Omega }$. Spočítáme proud, který protéká obvodem v jednotlivých případech. Nejprve uvažujme případ s otevřeným vypínačem (elektřina jím tedy neprotéká). V tomto případě máme paralelní zapojení dvou částí. V horní části bude odpor $R_h=R_2+R_3=42\mathrm{\Omega }$, ve spodní části bude odpor $R_s=R_1+R_4=42\mathrm{\Omega }$. Celkový odpor těchto dvou částí bude $R_1^{\prime }=\frac{R_h\cdot R_s}{R_h+R_s}=\frac{42\mathrm{\Omega }\cdot 42\mathrm{\Omega }}{42\mathrm{\Omega }+42\mathrm{\Omega }}=21\mathrm{\Omega }$. Protože napětí zdroje je $U=3V$, proud protékající obvodem musí být

Podobně můžeme postupovat i v případě, kdy je spínač spojen (elektřina jím tedy proudí). V takovém případě máme dvě paralelní větve zapojené do série. První část má odpor $R_{21}^{\prime }=\frac{36\mathrm{\Omega }\cdot 12\mathrm{\Omega }}{36\mathrm{\Omega }+12\mathrm{\Omega }}=9\mathrm{\Omega }$. Druhá část má odpor $R_{22}^{\prime }=\frac{30\mathrm{\Omega }\cdot 6\mathrm{\Omega }}{30\mathrm{\Omega }+6\mathrm{\Omega }}=5\mathrm{\Omega }$. Dopočítáme celkový odpor, který je $R_2^{\prime }=R_{21}^{\prime }+R_{22}^{\prime }=9\mathrm{\Omega }+5\mathrm{\Omega }=14\mathrm{\Omega }$. Proud protékající obvodem se sepnutým spínačem tudíž bude

Po spojení obou částí spínače se tedy proud zvýší o

Výsledek:

$18$

Na obrázku jsou dva typy úseček:

• ty, které znázorňují cestu (tečkované);
• ty, které zobrazují okraj hřiště.

Úloha nás žádá o nalezení součtu délek úseček prvního typu. Víme, že součet délek úseček druhého typu je obvod hřiště, což je $27m$.

Trik spočívá v tom, že si spočítáme součet celkového obvodu šedých částí a celkového obvodu bílých částí, což je $30m+33m=63m$. Všimněte si, že každá úsečka prvního typu přispívá k tomuto součtu dvojnásobkem své délky, zatímco každá úsečka druhého typu přispívá pouze jednou. Pokud tedy z našeho součtu odečteme obvod hřiště, o kterém víme, že je součtem délek úseček druhého typu, dostaneme, že $63m-27m=36m$ je dvojnásobkem součtu délek úseček cest.

Posledním krokem musí být vydělení výsledku dvěma, abychom zísakali součet délek cest, který tedy je $36m:2=18m$.

Výsledek:

$2700$

Uvažujme, že $a$, $b$ a $c$ jsou rozměry akvária. Musíme tedy nějakým způsobem vyjádřit objem $V=\mathit{abc}$. Při řešení úlohy budeme tlaky, které Eliška naměřila, označovat $p_1=4000\mathrm{Pa}$, $p_2=10000\mathrm{Pa}$ and $p_3=20000\mathrm{Pa}$.

Akvárium je naplněno vodou do $2∕3$ svého objemu. Tím pádem vždy, když Eliška položí akvárium na jinou stranu, tak voda dosáhne vždy do $2∕3$ aktuální výšky akvária. Máme tedy $3$ možnosti, jak získat rovnici pro hydrostatický tlak:

Můžeme tedy vyjádřit rozměry akvária jako:

Objem akvária tedy je

Úloha po nás chtěla, abychom vyjádřili objem akvária v litrech. Převedením na litry tedy získáme, že objem akvária je $2700L$.

Výsledek:

$7,5$

Světelný paprsek z laseru se odráží podle zákona odrazu, takže jeho úhel dopadu a úhel odrazu musejí mít stejnou velikost. Díky tomu se úhly označené $\alpha$ na následujícím obrázku vzájemně rovnají:

Můžeme vidět, že se nám na obrázku utvořily dva trojúhelníky. Oba mají jeden úhel o velikosti $\alpha$ a jeden pravý úhel. Jedná se tedy o podobné trojúhelníky. Proto můžeme říct, že vodorovná úsečka o délce $20m$ je rozdělená na dvě části ve stejném poměru, jaký je poměr výšek věží, tedy $3:5$. Kratší část bude dlouhá $\frac{3}{3+5}\cdot 20m=7,5m$. Jinými slovy, zrcadlo musí být umístěno ve vzdálenosti $7,5m$ od nižší věže.

Výsledek:

$50$

V tomto příkladu si rozdělíme problém na dva směry – po směru jízdy vlaku a směr na jízdu vlaku kolmý. V kolmém směru musí náboj urazit vzdálenost $s_k=48m$. Protože náboj má rychlost ve směru kolmém na směr jízdy vlaku $v_k=192m∕s$, bude mu let trvat

Nicméně náboj má i nenulovou rychlost ve směru jízdy vlaku. Za čas $t$, po který se vlak pohybuje rychlostí $v_v=56m∕s$, urazí vzdálenost

Pokud chce Joska trefit terč, musí vystřelit ve vzdálenosti $14m$ před tím, než vlak mine bod na trati, od kterého je terč nejblíže. V tomto okamžiku je tedy ve vrcholu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami $14m$ a $48m$. Podle Pythagorovy věty bude délka přepony tohoto trojúhelníku $\sqrt{{(14m)}^2+{(48m)}^2}=50m$. Toto je taky vzdálenost Josky od terče, ve které musí vystřelit, aby terč trefil.

Výsledek:

$17$

Použitím jednoduchého vzorečku z tabulky můžeme spočítat, že $1+2+3+\dots +101=5151$. Každým změněním znaménka $+$ na znaménko $-$ zmenšíme tento výsledek o dvojnásobnou hodnotu čísla, jehož znaménko změníme. Abychom změnili $5151$ na $2025$ nejmenším počtem změněných znamének, musíme začít u nejvyšších čísel. Výsledek součtu musíme snížit o $5151-2025=3126$. Součet čísel, u kterých změníme znaménko musí být $3126:2=1563$ (vyděleno dvěma, protože každá změna z $+$ na $-$ nám změní výsledek o dvojnásobek hodnoty změněného čísla). Změněná čísla jsou v průměru jistě menší než $100$, takže potřebujeme změnit alespoň $1563:100=15,63$, tudíž alespoň $16$ znamének. Pokud bychom změnili znaménka $16$ nejvyšších čísel, dostaneme číslo $5151-2\cdot (86+87+\cdots +101)=5151-2\cdot (187\cdot 8)=5151-2992=2159$. To je však stále více než $2025$, konkrétně o $2159-2025=134$. Abychom ještě odečetli $134$, musíme změnit znaménko u čísla $134:2=67$. Takto dostaneme výsledek $2025$ – po změnění $16+1=17$ plusových znamének na mínusové.

Výsledek:

$20,01$

Označme $m$ hmotnost hopíku. Jeho původní potenciální energie je $E_p=\mathit{mgh}$, kde $h=2,5m$. Hopík postupně nárazy ztrácí energii, s každým odrazem nějakou její část. Pouze polovina ztracené energie se přemění na teplo, čímž přispívá k ohřívání hopíku. Protože hopík nakonec ztratí veškerou svou mechanickou energii a zastaví na zemi, přesně polovina původní potenciální energie se přemění na tepelnou energii hopíku. Tepelná energie přijatá hopíkem je tedy přesně $E_p∕2$. Tato energie způsobí zvýšení teploty míčku s měrnou tepelnou kapacitou $c=1250J∕(\mathrm{kg}{}^{\circ }C)$ o rozdíl $\mathrm{\Delta }t$ vyjádřený jako:

Teplota hopíku se tedy zvýší z půvoní teploty $t=20{}^{\circ }C$ na novou teplotu $t^{\prime }=t+\mathrm{\Delta }t=20{}^{\circ }C+0,01{}^{\circ }C=20,01{}^{\circ }C$.

Výsledek:

$79$

Vezměme nejprve libovolnou trojici tyček a zamysleme se, co můžeme říct o ostrých úhlech mezi nimi. Nejprve dokážeme, že musí platit alespoň jedno z následujících tvrzení:

a)

Jeden z ostrých úhlů je součtem dvou zbývajících

b)

Všechny tři ostré úhly mají součet $180^{\circ }$.

Tři čáry rozdělí plný úhel na $3$ dvojice úhlů se stejnými velikostmi. Maximálně jedna z těchto dvojic úhlů mohou být tupé nebo pravé úhly, jinak by plný úhel musel být větší než $360^{\circ }$. Můžeme z této skupiny tedy vybrat dvě dvojice ostrých úhlů. tyto dvě dvojice ostrých úhlů tedy jednoznačně předpovídají velikost třetího ostrého úhlu mezi třemi tyčkami. Nyní zbývá otázka, jaká je jeho velikost. Dva ostré úhly určitě sdílí jednu společnou přímku. Nejprve předpokládejme, že jejich součet je menší než $90^{\circ }$, tedy jde o ostrý úhel a platí případ a). V opačném případě je jejich součtem tupý úhel. Třetí ostrý úhel pak může být spočítán jako rozdíl tohoto tupého úhlu do $180^{\circ }$, což je případ b). Nyní se můžeme pustit do původního příkladu, ve kterém známe $5$ ze $6$ úhlů, tedy jistě musí existovat taková trojice, ve které známe všechny tři úhly. Tyto tři úhly musí splňovat jednu z výše uvedených podmínek. Žádná trojice úhlů nesplňuje podmínku b) vzhledem k tomu, že maximální součet tří úhlů je $45^{\circ }+56^{\circ }+61^{\circ }=162^{\circ }<180^{\circ }$. Dokážeme ale najít dvě trojice splňující podmínku a), konkrétně, $16^{\circ }+40^{\circ }=56^{\circ }$ a $16^{\circ }+45^{\circ }=61^{\circ }$. Vidíme tedy, že jistě máme dvě tyčky svírající úhel $16^{\circ }$. Máme tedy dvě trojice tyček obsahující tyčky s úhlem $16^{\circ }$ a jednu další tyčku. Dále budeme používat obě nalezené trojice. Na úvod nakreslíme dvě čáry svírající úhel $16^{\circ }$. Nyní musíme přidat čáru tvořící úhly $40^{\circ }$ a $45^{\circ }$ s původními čarami tvořícími úhel $16^{\circ }$, přičemž tyto úhly se nesmí s úhlem $16^{\circ }$ překrývat. Budeme tedy uvažovat dva následucící případy:

Případ 1.

Oba tyto úhly jsou na stejné straně. V tomto případě určitě vznikle ostrý úhel o velikosti $45^{\circ }-40^{\circ }=5^{\circ }$. Nicméně, můžeme zkontrolovat, že všechny úhly jsou takové, jaké mají být.

Případ 2.

Tyto dva úhly jsou na opačných stranách. V tomto případě existuje dvojice čar, která svírá úhel $45^{\circ }+16^{\circ }+40^{\circ }=101^{\circ }$. Tento úhel je však tupý, tedy musíme vzít doplňkový úhel k tomuto úhlu $180^{\circ }$ což je $180^{\circ }-101^{\circ }=79^{\circ }$. Znovu můžeme snadno ověřit, že všechny ostatní úhly splňují zadané podmínky.

Nakonec tedy vidíme, že větší z dvou možností velikosti šestého úhlu je $79^{\circ }$.

Výsledek:

$25$

Květa napsala $8$ čísel s aritmetickým průměrem $45$. Součet těchto $8$ čísel musel být $8\cdot 45=360$. Podobně Kačka napsala $8$ čísel s aritmetickým průměrem $65$, jejich součet tedy musel být $8\cdot 65=520$. Součet všech čísel napsaných oběma dívkami tedy je $360+520=880$. Na třetí papír dívky napsaly $8+8-1=15$ čísel (číslo které měly původně obě napsaly jen jednou) s aritmetickým průměrem $57$. Součet čísel na třetím papíře tedy byl $15\cdot 57=855$, které je odlišné od součtu všech původních čísel $880$. To znamená, že obě dívky původně měly společné číslo $880-855=25$.

Výsledek:

$2$

Nejprve si vysvětlíme pojem "délková hustota", kterou označíme $\lambda$. Z jednotek $\mathrm{kg}∕m$ můžeme odhadnout, že řetěz s hmotností $m$ a délkou $\ell$ má délkovou hustotu $\lambda =\frac{m}{\ell }$. V našem příkladu známe délkovou hustotu $\lambda =3\mathrm{kg}∕m$ a chceme spočítat hmotnost řetězu o délce $\ell$. Když se vrátíme k našemu problému, máme bójku ve tvaru balónu s objemem $V=40l=0,04m^3$ a průměrnou hustotou $\rho =50\mathrm{kg}∕m^3$. Tento balón má tedy hmotnost $m_0=\mathit{\rho V}=2\mathrm{kg}$. Potřebujeme, aby bylo $20\%$ balónu ponořeno pod vodou, tedy potřebujeme výslednou průměrnou hustotu $20\%$ hustoty vody. Potřebujeme tedy hustotu ${\rho }^{\prime }=\frac{20}{100}\cdot 1000\mathrm{kg}∕m^3=200\mathrm{kg}∕m^3$. Když k bolónu připevníme řetěz se zanedbatelným objemem, objem bójky se nezvýší, takže zůstane $V$. Celková hmotnost bójky tedy musí být $m={\rho }^{\prime }V=200\mathrm{kg}∕m^3\cdot 0,04m^3=8\mathrm{kg}$. Připevněním řetěžu tedy potřebujeme zvýšit hmotnost o $m-m_0=6\mathrm{kg}$. Aby se tak stalo, musíme použít řetěz o délce

Výsledek:

$56$

Označme si odpory obou rezistorů $R_1$ a $R_2$. Rovnice pro celkový odpor při sériovém zapojení je

Podobně pro paralelní zapojení platí

Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou potřebujeme vyřešit. Pokud lehce upravíme druhou rovnici, můžeme ji zjednodušit pomocí první

To znamená, že pro čísla vyjadřující velikosti odporů obou rezstorů platí, že jejich součet je $64$ a součin $448$. Za předpokladu, že velikosti odporů jsou celá čísla, nám stačí z párů čísel, jejichž součin je $448$, vybrat dvojici se správným součtem. Minimálně jeden z hledaných dělitelů $448$ musí být dělitelný $8$ (protože $448$ je dělitelné $64=8^2$). Protože součet obou hledaných čísel je taktéž dělitelný $8$, musí to platit i pro druhé číslo. Tyto podmínky nám dávají jediné možné řešení – použít čísla $8$ a $56$, která vyhovují oběma zadaným podmínkám. Úloha se ptá na větší hodnotu z odporů obou rezistorů, což je $56\mathrm{\Omega }$.

Výsledek:

$40$

Označme si nejmenší modré číslo $m$ a naopak to největší $M$. Nyní se podívejme na úsek na kružnici mezi těmito čísly (takovéto úseky jsou samozřejmě dva, my se teď ale budeme soustředit pouze na jeden). Nejmenší součet červených čísel v tomto úseku kružnice může být právě $M-m$.

Pokud jsou modrá čísla v daném úseku seřazena ve vzestupném pořadí od $m$ až po $M$, např. ve tvaru $m<a_2<\cdots <a_n<M$, poté součet všech červených čísel v tomto úseku je

V jiném případě může někde hodnota klesnout. Musíme tedy po krocích zvýšit hodnotu z $m$ na $M$, navíc musíme kompenzovat pokles hodnoty. Tedy se součet červených čísel zvýší nejméně o dvojnásobek poklesu hodnoty, nejedná se proto o optimální případ.

Našli jsme tedy minimální součet červených čísel v jednom úseku kružnice, úseky jsou ale dva a proto nejmenší součet všech červených čísel bude $2(M-m)$.

Teď už nám zbývá pouze najít nejmenší možný rozdíl $M-m$. Nejmenší rozdíl bychom získali, kdyby modrá čísla tvořila $20$ po sobě jdoucích čísel (v tomto případě by se $M-m=19$. To však není tento případ. Je vidět, že součet $20$ po sobě jdoucích čísel je vždy roven 10násobku součtu největšího a nejmenšího prvku tedy musí být násobek 10. Číslo 2025 však není násobkem 10.

Na druhou stranu můžeme dojít k závěru, že rozdíl $M-m=20$ je dosažitelný. Jedním ze způsobů je najít požadovaných 20 čísel. Průměrná hodnota 20 čísel, která sečteme, by měla být přibližně $2025:20=101,25$. Proto bychom se měli podívat na $20$ po sobě jdoucích celých čísel (některá z nich bude třeba vyměnit), tak aby číslo $101,25$ bylo mezi desátým a jedenáctým číslem. Těmito dvěma čísly jsou tedy $101$ a $102$. Pokud bychom vzali čísla $92$, $93$, $\text{…}$, $101$, $102$, $\text{…}$, $111$, dostali bychom součet $10\cdot (101+102)=2030$. Potřebujeme však získat součet $2025$, takže nejmenších $5$ čísel ($92$, $93$, $94$, $95$, $96$) snížíme o jednu.

Tímto způsobem získáme dvacet čísel se součtem 2025, pro které platí $M-m=20$. Minimální součet červených čísel je tedy $2(M-m)=2\cdot 20=40$.

Výsledek:

$1,05$

Označme hmotnost míčku $m$. Na začátku je hopík ve výšce $h_0=1,6m$, tedy má potenciální energii $E_{p_0}=\mathit{mg}{h}_0$. Kromě toho se pohybuje rychlostí $v_0=16m∕s$, tedy má kinetickou energii $E_{k_0}=\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Jeho celková energie na počátku tedy je

První odraz se odehraje ve výšce $h_1=0,8m$. Hopík má v tento okamžik potenciální energii $E_{p_1}=\mathit{mg}{h}_1=10N∕\mathrm{kg}\cdot 0,8m\cdot m=8J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Jeho kinetická energie před odrazem je tedy $E_{k_1}^{\prime }=E_0-E_{p_1}=144J∕\mathrm{kg}\cdot m-8J∕\mathrm{kg}\cdot m=136J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Po odrazu tato kinetická energie poklesne na tři čtvrtiny své původní hodnoty, tedy na s $E_{k_1}=\frac{3}{4}{E}_{k_1}^{\prime }=\frac{3}{4}\left(136J∕\mathrm{kg}\cdot m\right)=102J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Celková energie po prvním odrazu tedy je

Podobným způsobem si poradíme s druhým odrazem. Situaci máme nyní zjednodušenou tím, že potenciální energie $E_{p_2}$ je zde nulová. Celková energie je tedy rovna energii kinetické, tedy tentokrát se přímo celková energie po odrazu sníží na tříčtvrtinovou hodnotu. Celková energie po druhém odrazu tedy bude:

Nyní potřebujeme najít okamžik, kdy hopík dosáhne po druhém odrazu své maximální výšky. To se stane tehdy, když svislá složka rychlosti bude nulová. Nicméně i v tomto okamžiku může mít hopík stále nenulovou vodorovnou složku rychlosti, jejíž velikost tedy musíme během pohybu také sledovat. Nyní ji tedy jednoduše spočítáme. Na začátku pohybu má míček vodorovnou rychlost $v_0$. Po prvním odrazu klesne celková velikost rychlosti a změní se její směr. Pokles rychlosti je takový, aby kinetická energie klesla na tři čtvrtiny své původní hodnoty. Kinetická energie je úměrná druhé mocnině rychlosti, tedy velikost rychlosti musí po odrazu klesnout na $\sqrt{3∕4}$ původní hodnoty. Tato situace se stane dvakrát, tedy po obou odrazech bude mít vodorovná složka rychlosti velikost $v_2={(\sqrt{3∕4})}^2{v}_0=\frac{3}{4}{v}_0=12m∕s$.

V nejvyšší bodě trajektorie po odrazu má hopík stále vodorovnou rychlost $v_2$ a tedy kinetickou energii $E_{k_3}=\frac{1}{2}m{v}_2^2=\frac{1}{2}{(12m∕s)}^2\cdot m=72J∕\mathrm{kg}\cdot m$. Jeho potenciální energie tedy je $E_{p_3}=E_2-E_{k_3}=82,5J∕\mathrm{kg}\cdot m-72J∕\mathrm{kg}\cdot m=10,5J∕\mathrm{kg}\cdot m$. To tedy znamená, že maximální výška $h_3$, do které se hopík odrazí je

.

Výsledek:

$39$

Z definice největšího společného dělitele víme, že $\text{nsd.}(a,b)$ je dělitelem jak $a$, tak $b$. Podobně jsou jak $a$, tak $b$ dělitelé čísla nejmenšího společného násobku $\text{nsn.}(a,b)$. Z toho vyplývá, že $\text{nsn.}(a,b)$ je dělitelné číslem $\text{nsd}(a,b)$. Proto můžeme najít kladná celá čísla $d$, $k$ taková, že

Na druhou stranu, pro každou volbu $k$ a $d$ můžeme najít vhodná čísla $a$ a $b$. K tomu stačí zvolit $a=d$ a $b=\mathit{kd}$. Protože potřebujeme určit počet vhodných hodnot pro $d$, můžeme $a$ a $b$ ignorovat a pracovat pouze s $d$ a $\mathit{kd}$. Podmínka se přepíše do tvaru $d+\mathit{kd}=d(k+1)=20250$. To je pouze zápis čísla $20250$ jako součinu dvou činitelů, z nichž jeden (konkrétně $k+1$) je alespoň $2$. Proto může být $d$ libovolný dělitel čísla $20250$, kromě samotného čísla $20250$ (protože by to znamenalo $k+1=1$). Úloha se tak redukuje na hledání počtu kladných dělitelů čísla $20250$. Prvočíselný rozklad čísla $20250$ je $20250=2\cdot 3^4\cdot 5^3$. Jeho dělitelé mají stejné prvočinitele, ale s menšími exponenty (včetně $0$). Máme tedy $2$ možnosti pro prvočíslo $2$ ($0$ nebo $1$), $5$ možností pro prvočíslo $3$ ($0$, $1$, $2$, $3$, $4$) a $4$ možnosti pro prvočíslo $5$ ($0$, $1$, $2$, $3$). Celkem má číslo $20250$ $2\cdot 5\cdot 4=40$ dělitelů. Musíme vyloučit dělitel $20250$, což nám zanechá $40-1=39$ možných hodnot pro největší společný dělitel Tomášových čísel.